東京工業大学入試数学良問解説③　～いびつなサイコロ～

東工大入試数学の良問　その3

　画像の問題は2008年の東京工業大学の入学試験で出題された、数学的な示唆に富む良問です。この記事では「この問題はどのようなアプロ―チで解き進めればよいか」「別解はないのか」といった点を深掘りしていきます。証明問題の攻略のコツについても掲載しているので、ぜひ最後までお読みください。

　まずは画像の問題にじっくり当たって解いてみましょう。解けたら以下の解説を読んで合っているか確かめましょう。もちろん、まったく解法が見当がつかない、15分ぐらい考えてみたけどわからないといった場合でも下の解説に進んでかまいません。

※今回の問題はかなり難しいです。ある程度数学の問題が解けるようになってから読まれることをお勧めします。

シュワルツの不等式を
利用した解法

　今回の問題の主要な解き方を解説する前に、まずは「シュワルツの不等式」を用いた裏技的な解法について紹介します。

　シュワルツの不等式はコーシー・シュワルツの不等式とも呼ばれます。こちらの方が有名な名前かもしれません。とはいえ、多くの教科書には載っていないですし、載ったとしてもおまけ程度の扱いです。ですので、その内容および証明をまず示します。

　iを1からnまでの整数とし、各iに対してaiおよびbiは実数であるとします。すると、これらの数をどのようにとっても、$$\sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 \geq (\sum_{i=1}^n a_i b_i)^2$$が成り立ちます。これがシュワルツの不等式です。証明は以下のようにして行うことができます。

　次に実際にこれを利用して今回の問題を解いてみます。まず(1)ですが、こちらはPを計算したときに現れる形に注目すれば一瞬で解けます。

　シュワルツの不等式の証明の最後に等号成立条件を書きましたが、今回の場合ではすべて1/6、ということになります。これを書き忘れないようにしましょう。(2)は一工夫いります。解答は以下のようになります。

　このように解答すれば満点を取ることができます。ですが、果たしてこの問題はシュワルツの不等式を使わなければ絶対に解けないような問題なのでしょうか？もしもそうだとしたら、シュワルツの不等式が教科書の隅におまけで書いてある程度の扱いである理由が分かりません。

　結論から言うと、シュワルツの不等式を使わなくても正答できます。一応、今回は知識をつけていただくためにこの解答も見て頂きましたが、本当に考え方を知るべき答案はこれから考える、「どの教科書にも載っているようなことだけで作れる解答」です。

今回の問題を解くために
必要な考え方

　今回の問題のような難しい証明問題を解くためにはどうすればよいのでしょう？これについては、「証明問題の基本に立ち返る」ことが答えとなります。

　証明問題の基本は「結論から逆算する」ことです。そして、今回のような不等式の問題にそれを適用するテクニックとして、(左辺)-(右辺)≧0の形にすることがあります。学校の授業でも習う基本テクニックであり、今回の問題を解く上でも重要です。

　(1)に関しては問題文を読んだ上での結論ありきの解法を利用しなければなりません。具体的には問題文の後ろ、「等号成立条件」のところを見ます。ここで等号が成り立つとP=1/6です。ですが、これが同様に確からしい、いわゆる普通のサイコロの場合でPを計算しても、P=1/6になると気づくはずです。すると、$$(p_1-\frac{1}{6})^2+…+(p_6-\frac{1}{6})^2 \geq 0$$という式が見えてきます。ここのp_1からp_6までのすべてに1/6を代入すれば等号が成立するので、左辺の形がPを変形する過程で出ればよい、ということになります。

　(2)については先ほど見た(左辺)-(右辺)≧0の形を使います。こちらは最終的には平方完成を施して二乗+二乗+…+二乗≧0の形を出すことになります。(1)はややインチキ臭い解答の出し方をしましたが、こちらはまだ戦えると思います。これから解答を書きますので、まず(1)の解答を見て、それから(2)の解答を考えてみるのもよいでしょう。

正攻法での解答

　(1)の解答は以下のようになります。

　まず変形で(p1-1/6)^2の形を出します。かなりの力技ではありますが、こうすることで一気に見通しをよくすることができます。続いて(2)の解答を書きます。

　こちらでは証明する式のQ≧1/2-3/2Pの部分について右辺を移行して,(左辺)-(右辺)の形を作りそれが0以上であることを証明しています。1=(p1+…+p6)^2であることを利用することに気付けるかがポイントです。

　とはいえ、相当勘が良くなければ気付けないようなポイントです。ですが、(2)の前半部、Q≦1/4の証明だけできれば部分点はかなりある、とみてよいでしょう。なので最低限、ここだけは合わせられるようにしておきましょう。

数学の問題を解く上で
大切な姿勢

　今回はとても難しい問題を解いて頂きました。このレベルの問題が本番で解ければ言うことはないですし、シュワルツの不等式も知っていればそれだけで難関大の数学の入試問題を攻略するうえでの大きな武器になります。

　ですが、そうした知識を持っているだけの状態では数学の問題を「解く」段階には到達できません。数学の問題を解く上で何よりも重要なのは分野ごとの基本的な解法をすべて理解し、その中から適切な解法を選び取ることです。そして証明問題の場合は、今回解説した「結論から逆算する」ことになります。

　入試本番で普段通りに問題を解くことが出来るかは、普段問題を解く際にこのような方法を意識できるかどうかによります。練習は本番のように、本番は練習のように取り組むべきです。

　それでは早速問題演習を……といきたいところですが、数学の問題演習は概して時間がかかります。ましてやそれを1人で行おうとすればなおさらです。そこでおすすめなのが東大家庭教師友の会に所属する学生家庭教師です。

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授業を受けた時間数に応じてご請求額は変わり、指導回数や時間を臨機応変に変更することが可能です。

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他社の家庭教師とはどう違う？

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　以上の点から、東大家庭教師友の会は他社と比較してもなお信頼できる家庭教師サービスであることがご理解いただけたかと思います。