東京大学入試数学良問解説③　～閻魔が笑えば赤門が開く～

HOME
大学受験の家庭教師｜東大家庭教師友の会
大学入試の数学の良問を出題大学別に徹底比較！
東大入試の数学の良問その３　～閻魔が笑えば赤門は開く～

東大入試数学の良問　その3

　今からもう70年も前、「閻魔の唇問題」とよばれる一連の有名問題の最初といわれるものが東京大学で出題されました。当時の受験生の盲点を突いたこの問題の正答率は非常に低く、一部の数学がずば抜けて出来る人しか解けなかったといいます。では果たしてどうやって解くのか、何が盲点なのか、数学の勉強法そのものにも踏み込んで解説していきます。

　まずは画像の問題にじっくり当たって解いてみましょう。解けたら以下の解説を読んで合っているか確かめましょう。もちろん、まったく解法が見当がつかない、15分ぐらい考えてみたけどわからないといった場合でも下の解説に進んでかまいません。

ほとんどの受験生は
こういう間違いをした！

　問題文をぱっと見ただけでは「これが本当に誰も解けなかった難問なのか？」と思われるでしょう。では一体どのあたりが難しいのかを調べるために実際に解いてみましょう。当時、ほとんどの受験生は以下のような解答を書きました。

　一見してどこもおかしいところはないように思えます。しかし、この解答は不正解です。部分点は20点中の5点取れればラッキー、というぐらいでしょう。この解答にはある「モノ」が不足しています。ここからはその不足しているモノが何なのか、ということを見ていきます。

この問題を解くために
必要な考え方

　この問題に必要なやり方は「逆像法」と一般に呼ばれる手法です(逆手流という言い方もあります)。ですが、逆像法とは何なのか、という説明をしようとすると「写像」と呼ばれる大学で習う本格的な数学の知識が必要になりますので、これについて、まずはかなり噛み砕いた説明をすることにします。

　まず皆さんに最初に考えて欲しいことがあります。$$x+y=4とxy=10を満たす実数の組(x,y)$$　以上のものが果たして存在するか？ということです。早速調べてみましょう。まずは左側の式を変形して右側の式に代入しましょう。すると、$$x(4-x)=10$$という形になると思います。これはxについての2次方程式ですから、この解を求めてみましょう。すると、$$x=2+\sqrt{6}i, 2-\sqrt{6}i$$という結果になります。そうです、X=4とY=10を満たす実数xとyの組は存在できないのです。

　こうした変数変換を伴う問題にはしばしばこのような落とし穴があります。つまり、このような問題を見かけたら「元の変数が満たすべき要件をしっかりと満たせるか」ということに常に注意しながら解かねばならない、ということなのです。そして、その要件を満たす条件を、今回の問題で言えば(x,y)が実数になる条件を求めるために、逆像法の考え方が必要なのです。

逆像法について

　いよいよ逆像法の概要を説明します。やや難解な説明ですが、今回の問題の解き方を理解するには必要な作業なので、苦手な方も頑張って解読してみてください。

　まず集合AとBを考え、(x,y)と(X,Y)をそれぞれ集合Aと集合Bに属する実数の組であるとします。今回の問題では集合Aが半径1の円の内部に、集合Bがこれから図示するべき領域に該当します。

　一般的な解析(計算)手法(これはしばしば逆像法と対比して「順像法」とよばれます)は、(x,y)を先に考え、これを所定の手続きで(X,Y)に変換するという、先ほど示した誤答で使用したステップを踏みます。もちろんこれも今回の解答を得るために必要なステップです。ですが、それだけでは不足し、前節に取り上げたような問題が起こります。

　これを解消するために、今度は(X,Y)が存在できる条件を満たす(x,y)を探す、という方針を取ります。これが逆像法です。ランダムにXとYの値を考え、これを満たす(x,y)が実数となるものを探します。高校の段階で使える、元の変数が実数かどうかを調べる方法といえば判別式です。

　先ほどはx^2-4x+10=0という2次方程式を解きました。これを一般のXとYを含む方程式にすることになります。「yについては考えなくてもよいのか？」と思われるかもしれませんが、xとXの値が実数で与えられればyの値も必ず実数で与えられるため、それは不要である、ということになります。もちろん、yについての2次方程式としても構いません。対称性から同じ結果を得られます。

　とりあえず、以上の考察から今回逆像法によって元のxとyを実数にするための方法は、xについての2次方程式$$x^2-Xx+Y=0$$　の判別式Dが0以上になる(X,Y)の範囲を求めることである、ということがわかりました。それでは解答を書きます。

解答

　以上のような領域が出てくれば正解となります。この領域の図がまるで赤門に座す閻魔大王の微笑に見えることから、このタイプの問題は「閻魔の唇問題」とよばれています。

　注意点としては図示の際に文面で領域についての補足説明をしっかりと行うことです。特に今回は含むべき境界線と含むべきではない境界線が混在するため、このあたりをしっかりと説明しないと減点必至です。最後までしっかりと合わせましょう。

大学入試の数学の問題を
解けるようにするために

　以上に見た「逆像法」ですが、一般の高校の数学の教科書には載っていません。「東大の問題は理論上教科書の知識だけで解ける」と比較ページでは説明したのですが、これは半分嘘です。もしこれが真であるとすればどこの大学の問題も教科書の勉強だけで満点が取れます。

　難関大学の数学の入試問題はこのような「教科書に載っていないこと」であふれています。今回の逆像法の問題も知らなければほぼ解けません。だからこそ、この問題は「典型問題」として今なお教育現場で取り上げられ続けているのです。

　すると、大学入試の数学を攻略するためにはさまざまな種類の問題を解いていかなければならない、ということに必然的に気が付くはずです。特に理系の場合、難関大学に受かろうと思えば目安として1日に5時間以上は数学につぎ込み、数多くの出題パターンに慣れていかなければなりません。

　上のような地道な鍛錬をせずに合格するような人はごく一部です。それ以外の人は努力なしにはどうしようもありません。ですがその努力をすることも容易ではありません。合格するその日まで耐え忍ぶだけの我慢強さがある人もほんの一握りです。

　このような現実を見れば、もうどうしようもない、自分はもう受かりようがないと考えてしまうかもしれません。ですが、これは全て「たった一人でやっていれば」の話です。一緒に夢を追いかけられる人がいれば、合格までのハードルは大きく下がります。

　その「一緒に夢を追いかける人」として最適なのが東大家庭教師友の会が紹介する学生家庭教師です。彼らは大学受験を数年前に経験したばかりなので当時の感覚を覚えており、社会人の家庭教師と比べて、より共感と思いやりをもって生徒様へのメンタルケアを行うことができます。

　また、彼らは全員東大・京大・東工大をはじめとする難関大学に所属しており、家庭教師として求められる高校数学のノウハウもしっかり会得しています。大学入試の数学を攻略したい、第一志望校に合格したいというあなたの背中を、東大家庭教師友の会は全力で押します。

大学入試の数学対策は
友の会の家庭教師で決まり！

友の会の3つのメリット

　特に数学を頑張りたいあなたへ向けて我々友の会が提供できるメリットは大きく分けて以下の3つになります。まずは一度、お読みください。

①数学が大得意な先生が教えてくれる！

　友の会には京大、東大、大阪大をはじめ40,000人以上の難関大生が在籍しています。それだけ多くの家庭教師がいますから、数学を大得意とし、その数学力で入試を勝ち上がった先生も多く紹介できます。

　それだけではありません。友の会の家庭教師は全員採用率20%以下の厳しい審査を通過しています。そして、教師に希望する条件で細かく絞り込みができます。また、相性が悪いと感じられた際には教師を交代させていただくことも可能です。

②モチベーションを徹底管理！

　東大家庭教師友の会の教師は、生徒様の学習が成果につなげられるように、授業以外にも充実した学習サポートを行なっております。

　日頃の計算練習や苦手克服のための問題演習など、数学の勉強はとにかく時間のかかる地味な作業も多いです。そのような場面でもモチベーションを失ってしまわないよう、友の会の家庭教師が徹底的にサポート。お悩みにも親身になってお応えできます。

③かかる料金は5つだけ！

東大家庭教師友の会では、ご入会時に入会金が発生します。月々のお支払いは、コースに応じた授業料、交通費、学習サポート費の合算になります。

授業を受けた時間数に応じてご請求額は変わり、指導回数や時間を臨機応変に変更することが可能です。

コースごとのご料金をチェック▶

他社の家庭教師とはどう違う？

　次に、東大家庭教師友の会と他社の違いを紹介します。ここでは大きく分けて「①派遣する教師」と「②料金」の2つに分けて解説していきます。

①派遣する教師の違い

　まず、派遣する教師の違いについてです。友の会は採用率20％以下の厳しい審査を通過した優秀な難関大在籍の家庭教師を派遣しています。一方、他社は友の会のような学生家庭教師のみの会社もあればプロ家庭教師しか派遣しない会社もあり、さらにはその両方を派遣する場合もあったりと様々です。結局どこを選べばいいの？と思うかと思いますが、ここで重視すべき点はやはり「生徒様との相性」でしょう。

　その点、友の会は安心です。友の会は体験授業(初回無料)によって教師との相性をチェックでき、もし合わないと思った場合はいくらでもチェンジできます。教師は全員学生なので生徒様と歳が近く、相性がいいことが多いですし、何より友の会には多くの教師が在籍していますから、生徒様に合う先生が選べる可能性はとても高いです。

　一方、同業他社はどうでしょう？プロ家庭教師は経験豊富ですが、歳は生徒様から離れており、委縮してしまうかもしれません。教師の在籍数が少ないところではそもそも生徒様に合う教師が見つからない可能性すらあります。そして、本来生徒様と教師の相性をチェックして頂く最もよい機会である体験授業にそれ専用の人材を派遣してくる業者まであるという状況です。この点には十分注意する必要があります。

②料金制度の違い

　次に料金に関してです。友の会の授業は難関大所属の家庭教師による質の高いものでありながら、その料金は家庭教師の市場においてはかなり安価な部類に入ります。なぜなら、友の会では広告宣伝費などの諸費を極力安く抑えているからです。さらに、ご家庭様から頂く料金の大部分が教師の給与となるシステムも確立していますので、給料が安いことが原因で教師が積極的な指導をしてくれない、といったこともございません。

　それでは同業他社はどうかというと、まず適正な価格で指導をしてくれないところがあります。また、友の会は先ほども見て頂いたように料金体系をあらかじめ明示していますが、一度問い合わせるまで料金を明示してくれない業者もあります。料金関係でもっと問題なのが高額な教材販売を目的とする悪徳業者です。友の会ではそうした販売は一切行わず生徒様が既にお持ちのテキストなどで指導しますが、このような業者の存在が家庭教師の利用検討自体を難しくしているのです。

　以上の点から、東大家庭教師友の会は他社と比較してもなお信頼できる家庭教師サービスであることがご理解いただけたかと思います。