なぜこの問題を取り上げるのか?

 見ての通りこれは、検定済みの数学Ⅱの教科書には必ず掲載のあるほど基本的な数学の定理である、加法定理の証明問題です。なぜこのような基本的な問題を今回良問として取り上げているのか、それには明確な理由があります。

 

 大学の数学の先生にとって最もショッキングな事実として、この公式を証明できる高校生は全国に5%もいません。みんな覚えるだけ覚えて、肝心の証明はスルーしています。実際、この問題が東大で出た時も正答率が僅かに2割しかなく、入学式で教員に怒られた、という話まであります。

 

 このような出題をしたのは東大の入試作成者に、「今の高校生は加法定理を証明できない、この状況は非常に良くない」という認識があったからです。この程度の初歩的な公式が証明できなければ大学に上がってからの数学の勉強で苦しむことのは明らかなのに、多くの人が高校の段階でその証明を理解していなかったのです

 

 この記事を見ているあなたも似たような状況かもしれません。この問題は本来ならばサービス問題であり、裏を返せば解けなければ受からないはずの問題です。面倒くさい、時間がないといった理由でこうした公式の証明から目を背けるのはやめにして、一度「数学」そのものに対して真摯に向き合う必要があるでしょう。

この問題を解くために
必要な考え方

 それでは気を取り直してこの問題の解き方を考えていきましょう。……とはいえ、これはすらすらできて欲しい問題です。それに加えて、この証明がすらすら出来る人は証明過程を丸覚えするといったことはしません。「要点だけ覚える」ことを意識すればド忘れを起こすことはないので、今回は証明の「要点だけ覚える」ことを学んでいただきたいと思います。これは数学の勉強はもちろん、入試そのものを攻略するうえでも大変重要になります。

 

 (1)は三角関数の定義です。「一般角に対して」定義するので、有効範囲が0°から90°までしかない直角三角形の方法では答えになりません。このため、高校数学の範囲ではおおよそ下に画像を示すやり方しかないと思われます。

数学の良問解説

 これで一般の角に対して定義をすることが可能になります。この他にはテイラー展開による定義や微分方程式による定義などがありますが、いずれも高校生には難しい内容です。

 

 何はともあれ、これで(1)は解けました。ここからはこの(1)の結果をもとにして(2)を考えます。(1)で単位円による定義をしたので、(2)では単位円を証明に用いることになる、こう予想しておきましょう。まずは下に見える画像から考えてみます。

数学の良問解説

 動径OP,OQが始線となす角がそれぞれα,βとなるように点P,Qを定めます。さて、ここからどうすればいいと思いますか?答えから言いますと、「PQの長さを2通りで表し、cos(β-α)についての式を作る」ことが必要になります。流石にこれを「思いつく」というのは無茶苦茶、というより天才の所業です。今回の証明の覚えるべき要点はここだけです。

 

 というわけで、「ここにある情報だけでPQの長さを表す方法」を考えてみましょう。まず最初に、この図形がx-y平面上にあるから、PとQの座標はαとβを用いて表せて、そこからPQの長さを得られるのではないかということに気付くはずです。

 

 実際にこれは、Pの座標が(cosα, sinα)で、Qの座標が(cosβ, sinβ)であることから、$$\rm{PQ^2}=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2$$と表せます。もう1つのやり方は∠POQに注目して、ここから三角形POQの辺PQの長さを余弦定理で出すというものです。実際、$$\rm{PQ^2}=2-2\cos(\beta-\alpha)$$となります。それではこれをもとに解答を書いてみましょう。

(2)の解答

数学の良問解説

 

数学の良問解説

 

数学の良問解説

 

数学の良問解説

 

 数学Ⅰの三角比の単元で三角関数の変換公式を習ったかと思います。今回の解答ではこれも証明しておくことにしました。とはいえ、sinについての加法定理の使用を禁じられた環境下では図形による証明しか手段がないですし、なにより教科書に書いてあるやり方なので本番では省略しても減点はされないかと思います。むしろ、ここでは「数学の理論を構築する」にはどうすればいいのか、という点に注目していただきたいと思います。

 

 それと、最初にβ>αとして証明を始めましたが、β<αの場合は示さずともよいです。αとβには対称性があるためです。この答案では最後に「βとαは入れ替えてもよい」と書くことで対称性があることを説明しています。

要点だけを覚えるということ

 ここまで加法定理の証明を見てきました。一部の人はこれを覚えずに毎回導出するようですが、ほとんどの人には無理があろうかと思われます。そのため、とりあえず加法定理は覚えることとしますが、加法定理を覚えることで、以下に示す公式は全て30秒以内に導出することができます。

 

 まずは倍角の公式です。正弦・余弦・正接の全3パターンを以下のように出すことができます。

数学の良問解説

 正接は正弦を余弦で割ったものとして出すことになります。これを利用して、次は半角の公式を出してみましょう。導出はおおよそ次のようなやり方で行います。

数学の良問解説

 さらに、積和の公式と和積の公式も以下に示すような方法で導出できます。一部のみ示すので、残りも同じ要領で出してみてください。積和の公式は全部で3種類、和積の公式は4種類存在します。

数学の良問解説

 以上のように、倍角・半角・積和・和積の公式は試験本番中でも簡単に導出ができるわけですから、これをわざわざ語呂合わせなどを使って覚えるのはやめましょう。目安として、1分以内に証明できる公式を覚える必要はありません。これらを覚えるのに使っていた時間と脳みその容量は英語や古典などのどうしても暗記量を減らせない教科に回してください。

公式を証明できなければならない理由

 最後に公式の証明の必要性についての話をして終わりにします。まず最初に言っておくべきことは、教科書の公式を丸暗記しているうちは初見の問題を解くことができない、ということです。

 

 数学や物理学では意外な分野同士が手を結んでいることが多いです。これらの繋がりを受験生が知っていることを前提とした出題がなされることもあります。一つ一つの公式を個別に丸暗記しているようでは、こうした繋がりを見抜くことができないのです。

 

 また、パターン学習で運よく大学入試を突破できたとしても、その後の勉強で地獄を見ることになります。大学で習う数学はとにかく論理を重視します。高校の段階では論理の厳密性を議論することはほとんどありませんでしたが、大学ではそれらを一つ一つ検証することになるのです。

 

 そうなれば公式の丸暗記ではもはやどうしようもありません。一夜漬けで単位を取ることは出来ても肝心の講義内容は右から左で、受けた後の長期休暇を過ぎれば何も残っていないことに気付くはずです。それでは大学に行く意味はないでしょう。少なくとも、大学は単位を取るために行くところではないのです。

 

 だからこそ、高校の段階で公式の証明からしっかりとやっておく必要があります。証明を通して一から理解した内容は忘れにくく、一生の財産になります。入試も大学の数学も、ここで土台をしっかり固めておけば圧倒的に楽になるのです。

 

 そして、このような基本を身につけるにあたり、とても頼りになる助っ人が存在します。東大家庭教師友の会に所属する学生家庭教師です採用率20%以下の厳しい審査を通過した難関大所属の家庭教師は数学の効果的な勉強法を熟知しており、なおかつ生徒様の目線に立った献身的な指導ができます

 

 ここからは当会所属の家庭教師だからできることを紹介していきます。私達東大家庭教師友の会は、大学入試の数学を攻略したい、第一志望校に合格したいというあなたの背中を全力で押します

東大家庭教師友の会の特徴

当会には、東大生約9,700名、早稲田大学生約8,500名、慶應大生約8,000名をはじめ、現役難関大生が在籍しています。

生徒様に選ばれ続けて26年!“累計指導実績2万名”

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大学受験数学の指導ができる家庭教師の紹介

東大家庭教師友の会 | 稲永先生

稲永先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 渋谷教育学園幕張高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は、中学受験から高校卒業に至るまで、周囲の学習をサポートすることに強い喜びを感じてまいりました。 特に、理解につまずいている生徒様に対しては、積極的にアドバイスを提供し、学力向上を支援してまいりました。 これまでの指導経験では、例えば地理の暗記に苦手意識を持っていた生徒様がいました。 私との反復学習を重ねることで、その生徒様は学年が変わる前には見事満点を取得できるようになりました。 どのような生徒様に対しても、一人ひとりの理解度とペースに合わせ、粘り強く丁寧に指導することをお約束いたします。 生徒様が着実に理解を深め、自信を持って学習に取り組めるよう、全力でサポートさせていただきます。

当会からの紹介

穏やかで親しみやすい人柄が、生徒様からの信頼を厚くしている教師です。 指導においては、まず生徒様の理解度を丁寧に把握することに注力する教師です。生徒様一人ひとりの学習意欲を最大限に引き出し、内発的な動機付けを促す目標設定を大切にする教師です。 授業においては、体系的な復習と反復演習を通じて、確実な知識定着を図ることに長けた教師です。生徒様の小さな成長も見逃さず、前向きな声かけで自信を育みながら、粘り強くサポートする教師です。

#SAPIX出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 相川先生

相川先生

  • 女性
  • 東京大学 理学部
  • 洗足学園高等学校
  • 中学受験経験あり

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私は高校時代に、英検5級から準1級まで取得し、短期研修にも3回参加するなど、英語学習に力を入れてまいりました。また、高校時代は理系科目が苦手であったにもかかわらず、理系を選択し、東京大学に合格することができました。そのため、苦手科目との向き合い方や受験のテクニックなどについて、具体的なアドバイスをさせていただけます。指導経験といたしましては、トモノカイの学習メンターとして、英語、数学、物理、化学を指導してまいりました。また、河合塾MEPLOの大学生メンターとして昨年まで高校生の生徒様の学習相談に携わっていた経験もございます。このため、学習内容に関するご質問だけでなく、進路相談や学習計画の立て方など、幅広い面で生徒様のお役に立てると存じます。

当会からの紹介

礼儀正しく、大人っぽく落ち着いた印象の教師です。分析力が高く、根拠を明確かつわかりやすく言語化して伝えることができ、疑問を残さない授業を目指します。苦手科目を克服した経験がございます。生徒様の気持ちに丁寧に寄り添い、必要な改善策や学習計画を具体的に示していきます。

#日能研出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 中田先生

中田先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 洛南高等学校
  • 中学受験経験あり

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私自身、中学校に入学するまで、英語学習の経験はございませんでした。同級生と比較すると遅れて英語学習を開始したものの、徐々に長文読解ができるようになる喜びと、将来英語を役立てたいという強い思いから、学習時間の多くを英語に充ててまいりました。 音読やシャドーイングの習慣化、オンライン英会話の活用など、真摯な学習姿勢を継続することで、着実に英語力を向上させることができました。 これまでの経験から、英語学習は一朝一夕にはいかないものの、着実な努力が必ず実を結ぶ科目であると確信しております。 生徒様には、その喜びと達成感を実感していただきたいと強く願っております。具体的な指導においては、生徒様一人ひとりのペースに合わせて学習の習慣化を強力にサポートし、英語力の着実な向上を目指してまいります。

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生徒様の学習意欲を自然に引き出すことに長けた、温厚で明るい人柄が魅力の教師です。 英語指導においては、個々の生徒様の学習状況を深く理解することから始めます。着実に実力を伸ばすための学習習慣の定着を重視しており、生徒様が自律的に学習に取り組めるよう丁寧に支援します。 生徒様のモチベーションを常に高く保ちながら、目標達成へ向けた具体的なロードマップを共に描き、粘り強く伴走する教師です。

#日能研出身 #河合塾出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 佐伯先生

佐伯先生

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  • 雙葉高等学校
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私は小学3年生よりSAPIXに通塾し、中学受験を経て第一志望の雙葉中学校に合格いたしました。この経験は、生徒様が目標達成に向けて努力する過程を深く理解するための基盤となっています。 組分けテストで思うような結果が出ず、悩んだ時期もございました。しかし、その都度、徹底的な課題分析と学習方法の見直しを重ねることで、着実に成績を向上させてきました。 このような経験から、受験指導においては、単に学力向上を目指すだけでなく、成績の変動に伴う生徒様の不安や焦りにも真摯に寄り添い、精神的な側面からも力強くサポートすることを重視しております。目標達成まで、生徒様と保護者様に寄り添い、伴走していくことをお約束いたします。 特に雙葉中学校の受験対策においては、私自身の合格経験が強みとなります。国語の指導では、過去問を徹底的に分析し、実践を通して培った具体的な解法や記述のポイント、効果的な時間配分など、雙葉独自の出題傾向に合わせた実践的なアドバイスを提供いたします。 生徒様が自信を持って本番に臨めるよう、合格に向けた最適な学習プランを提案し、全力でサポートさせていただきます。

当会からの紹介

自然な笑顔が印象的で、保護者様や生徒様から厚い信頼を寄せられる教師です。 親しみやすい人柄は、生徒様が安心して学習に取り組める環境を築く上で大きな強みとなっています。 生徒様一人ひとりの個性や学習状況を深く理解し、精神的な側面からも手厚くサポートすることを重視しています。 学習における不安や焦りといった感情にも丁寧に耳を傾け、生徒様が自信を持って目標に邁進できるよう、きめ細やかなサポートを惜しまない教師です。 生徒様が自らの力で困難を乗り越え、着実に成長できるよう、粘り強く伴走する姿勢が特長です。 単に知識を教えるだけでなく、生徒様の学力向上に直結する具体的かつ実践的な指導を提供しています。 目標達成に向けた明確なロードマップを提示し、日々の学習から定期テスト対策、受験対策まで、効果的な学習方法を伝授する教師です。 学力向上はもちろんのこと、生徒様の内面的な成長も促す、多角的な視点を持った真摯な教師として、自信を持って推薦いたします。

#SAPIX出身 #早稲田アカデミー出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 松田先生

松田先生

  • 男性
  • 東京大学 医学部
  • 灘高等学校
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  • 指導塾対応

    SAPIX

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私は2年前に不登校で、ご両親にも家庭内暴力を振るう生徒様の家庭教師を担当したことがございました。最初はなかなか心を開いてくれず、指導中に逃げ出されたこともございました。しかしながら、その生徒様と粘り強く向き合っていくうちに、生徒様が幼少期に父親から実現不可能な厳しい期待をかけられ、それを達成できなかったことを厳しく責められて以来、ご両親への鬱屈した思いを持つとともに劣等感を強く抱いていること、本心では親の期待に応えたいと思っているものの、どうすれば良いか分からず、反抗することで「勉強を頑張ってもできない」という現実を直視することから逃げている、ということを打ち明けてくださるようになりました。この経験から、表面上は問題的な行動を取る生徒様でも、粘り強く、本当にその生徒様のためを思って接していれば、やがて心を開いてくださること、そして信頼関係が築ければそこからまた向上心を持って頑張ってくださるということを学びました。このことから、私は塾や学校に馴染めなかったり、学習についていけなかったりする生徒様であっても、決して見捨てることなく、真摯に向き合って指導し、生徒様の人生を良い方向に導きたいと強く思うようになりました。

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