ほとんどの受験生は
こういう間違いをした!

 問題文をぱっと見ただけでは「これが本当に誰も解けなかった難問なのか?」と思われるでしょう。では一体どのあたりが難しいのかを調べるために実際に解いてみましょう。当時、ほとんどの受験生は以下のような解答を書きました。

 一見してどこもおかしいところはないように思えます。しかし、この解答は不正解です。部分点は20点中の5点取れればラッキー、というぐらいでしょう。この解答にはある「モノ」が不足しています。ここからはその不足しているモノが何なのか、ということを見ていきます。

この問題を解くために
必要な考え方

 この問題に必要なやり方は「逆像法」と一般に呼ばれる手法です(逆手流という言い方もあります)。ですが、逆像法とは何なのか、という説明をしようとすると「写像」と呼ばれる大学で習う本格的な数学の知識が必要になりますので、これについて、まずはかなり噛み砕いた説明をすることにします。

 

 まず皆さんに最初に考えて欲しいことがあります。$$x+y=4とxy=10を満たす実数の組(x,y)$$ 以上のものが果たして存在するか?ということです。早速調べてみましょう。まずは左側の式を変形して右側の式に代入しましょう。すると、$$x(4-x)=10$$という形になると思います。これはxについての2次方程式ですから、この解を求めてみましょう。すると、$$x=2+\sqrt{6}i, 2-\sqrt{6}i$$という結果になります。そうです、X=4とY=10を満たす実数xとyの組は存在できないのです。

 

 こうした変数変換を伴う問題にはしばしばこのような落とし穴があります。つまり、このような問題を見かけたら「元の変数が満たすべき要件をしっかりと満たせるか」ということに常に注意しながら解かねばならない、ということなのです。そして、その要件を満たす条件を、今回の問題で言えば(x,y)が実数になる条件を求めるために、逆像法の考え方が必要なのです。

逆像法について

 いよいよ逆像法の概要を説明します。やや難解な説明ですが、今回の問題の解き方を理解するには必要な作業なので、苦手な方も頑張って解読してみてください。

 

 まず集合AとBを考え、(x,y)と(X,Y)をそれぞれ集合Aと集合Bに属する実数の組であるとします。今回の問題では集合Aが半径1の円の内部に、集合Bがこれから図示するべき領域に該当します。

 

 一般的な解析(計算)手法(これはしばしば逆像法と対比して「順像法」とよばれます)は、(x,y)を先に考え、これを所定の手続きで(X,Y)に変換するという、先ほど示した誤答で使用したステップを踏みます。もちろんこれも今回の解答を得るために必要なステップです。ですが、それだけでは不足し、前節に取り上げたような問題が起こります。

 

 これを解消するために、今度は(X,Y)が存在できる条件を満たす(x,y)を探す、という方針を取ります。これが逆像法です。ランダムにXとYの値を考え、これを満たす(x,y)が実数となるものを探します。高校の段階で使える、元の変数が実数かどうかを調べる方法といえば判別式です。

 

 先ほどはx^2-4x+10=0という2次方程式を解きました。これを一般のXとYを含む方程式にすることになります。「yについては考えなくてもよいのか?」と思われるかもしれませんが、xとXの値が実数で与えられればyの値も必ず実数で与えられるため、それは不要である、ということになります。もちろん、yについての2次方程式としても構いません。対称性から同じ結果を得られます。

 

 とりあえず、以上の考察から今回逆像法によって元のxとyを実数にするための方法は、xについての2次方程式$$x^2-Xx+Y=0$$ の判別式Dが0以上になる(X,Y)の範囲を求めることである、ということがわかりました。それでは解答を書きます。

解答

数学の良問解説 数学の良問解説

 以上のような領域が出てくれば正解となります。この領域の図がまるで赤門に座す閻魔大王の微笑に見えることから、このタイプの問題は「閻魔の唇問題」とよばれています。

 

 注意点としては図示の際に文面で領域についての補足説明をしっかりと行うことです。特に今回は含むべき境界線と含むべきではない境界線が混在するため、このあたりをしっかりと説明しないと減点必至です。最後までしっかりと合わせましょう。

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大学入試の数学の問題を
解けるようにするために

 以上に見た「逆像法」ですが、一般の高校の数学の教科書には載っていません。「東大の問題は理論上教科書の知識だけで解ける」と比較ページでは説明したのですが、これは半分嘘です。もしこれが真であるとすればどこの大学の問題も教科書の勉強だけで満点が取れます。

 

 難関大学の数学の入試問題はこのような「教科書に載っていないこと」であふれています。今回の逆像法の問題も知らなければほぼ解けません。だからこそ、この問題は「典型問題」として今なお教育現場で取り上げられ続けているのです。

 

 すると、大学入試の数学を攻略するためにはさまざまな種類の問題を解いていかなければならない、ということに必然的に気が付くはずです。特に理系の場合、難関大学に受かろうと思えば目安として1日に5時間以上は数学につぎ込み、数多くの出題パターンに慣れていかなければなりません。

 

 上のような地道な鍛錬をせずに合格するような人はごく一部です。それ以外の人は努力なしにはどうしようもありません。ですがその努力をすることも容易ではありません。合格するその日まで耐え忍ぶだけの我慢強さがある人もほんの一握りです。

 

 このような現実を見れば、もうどうしようもない、自分はもう受かりようがないと考えてしまうかもしれません。ですが、これは全て「たった一人でやっていれば」の話です。一緒に夢を追いかけられる人がいれば、合格までのハードルは大きく下がります。

 

 その「一緒に夢を追いかける人」として最適なのが東大家庭教師友の会が紹介する学生家庭教師です。彼らは大学受験を数年前に経験したばかりなので当時の感覚を覚えており、社会人の家庭教師と比べて、より共感と思いやりをもって生徒様へのメンタルケアを行うことができます。

 

 また、彼らは全員東大・京大・東工大をはじめとする難関大学に所属しており、家庭教師として求められる高校数学のノウハウもしっかり会得しています。大学入試の数学を攻略したい、第一志望校に合格したいというあなたの背中を、東大家庭教師友の会は全力で押します。

東大家庭教師友の会の特徴

当会には、東大生約9,700名、早稲田大学生約8,500名、慶應大生約8,000名をはじめ、現役難関大生が在籍しています。

生徒様に選ばれ続けて26年!“累計指導実績2万名”

生徒様の憧れとなる教師のご紹介と、安心・充実のサポート体制で、生徒様の目標達成に貢献します。

特徴

01

特徴

教師は現役東大生・難関大生・難関大卒プロ

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指導力が高く、生徒様と相性のよい教師をご紹介

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生徒様ごとの指導計画・進捗管理などの学習サポート

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後払い制・身分保証など、安心安全のシステム

 

大学受験数学の指導ができる家庭教師の紹介

東大家庭教師友の会 | 稲永先生

稲永先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 渋谷教育学園幕張高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は、中学受験から高校卒業に至るまで、周囲の学習をサポートすることに強い喜びを感じてまいりました。 特に、理解につまずいている生徒様に対しては、積極的にアドバイスを提供し、学力向上を支援してまいりました。 これまでの指導経験では、例えば地理の暗記に苦手意識を持っていた生徒様がいました。 私との反復学習を重ねることで、その生徒様は学年が変わる前には見事満点を取得できるようになりました。 どのような生徒様に対しても、一人ひとりの理解度とペースに合わせ、粘り強く丁寧に指導することをお約束いたします。 生徒様が着実に理解を深め、自信を持って学習に取り組めるよう、全力でサポートさせていただきます。

当会からの紹介

穏やかで親しみやすい人柄が、生徒様からの信頼を厚くしている教師です。 指導においては、まず生徒様の理解度を丁寧に把握することに注力する教師です。生徒様一人ひとりの学習意欲を最大限に引き出し、内発的な動機付けを促す目標設定を大切にする教師です。 授業においては、体系的な復習と反復演習を通じて、確実な知識定着を図ることに長けた教師です。生徒様の小さな成長も見逃さず、前向きな声かけで自信を育みながら、粘り強くサポートする教師です。

#SAPIX出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 相川先生

相川先生

  • 女性
  • 東京大学 理学部
  • 洗足学園高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は高校時代に、英検5級から準1級まで取得し、短期研修にも3回参加するなど、英語学習に力を入れてまいりました。また、高校時代は理系科目が苦手であったにもかかわらず、理系を選択し、東京大学に合格することができました。そのため、苦手科目との向き合い方や受験のテクニックなどについて、具体的なアドバイスをさせていただけます。指導経験といたしましては、トモノカイの学習メンターとして、英語、数学、物理、化学を指導してまいりました。また、河合塾MEPLOの大学生メンターとして昨年まで高校生の生徒様の学習相談に携わっていた経験もございます。このため、学習内容に関するご質問だけでなく、進路相談や学習計画の立て方など、幅広い面で生徒様のお役に立てると存じます。

当会からの紹介

礼儀正しく、大人っぽく落ち着いた印象の教師です。分析力が高く、根拠を明確かつわかりやすく言語化して伝えることができ、疑問を残さない授業を目指します。苦手科目を克服した経験がございます。生徒様の気持ちに丁寧に寄り添い、必要な改善策や学習計画を具体的に示していきます。

#日能研出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 中田先生

中田先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 洛南高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私自身、中学校に入学するまで、英語学習の経験はございませんでした。同級生と比較すると遅れて英語学習を開始したものの、徐々に長文読解ができるようになる喜びと、将来英語を役立てたいという強い思いから、学習時間の多くを英語に充ててまいりました。 音読やシャドーイングの習慣化、オンライン英会話の活用など、真摯な学習姿勢を継続することで、着実に英語力を向上させることができました。 これまでの経験から、英語学習は一朝一夕にはいかないものの、着実な努力が必ず実を結ぶ科目であると確信しております。 生徒様には、その喜びと達成感を実感していただきたいと強く願っております。具体的な指導においては、生徒様一人ひとりのペースに合わせて学習の習慣化を強力にサポートし、英語力の着実な向上を目指してまいります。

当会からの紹介

生徒様の学習意欲を自然に引き出すことに長けた、温厚で明るい人柄が魅力の教師です。 英語指導においては、個々の生徒様の学習状況を深く理解することから始めます。着実に実力を伸ばすための学習習慣の定着を重視しており、生徒様が自律的に学習に取り組めるよう丁寧に支援します。 生徒様のモチベーションを常に高く保ちながら、目標達成へ向けた具体的なロードマップを共に描き、粘り強く伴走する教師です。

#日能研出身 #河合塾出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 佐伯先生

佐伯先生

  • 女性
  • 慶應義塾大学 商学部
  • 雙葉高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は小学3年生よりSAPIXに通塾し、中学受験を経て第一志望の雙葉中学校に合格いたしました。この経験は、生徒様が目標達成に向けて努力する過程を深く理解するための基盤となっています。 組分けテストで思うような結果が出ず、悩んだ時期もございました。しかし、その都度、徹底的な課題分析と学習方法の見直しを重ねることで、着実に成績を向上させてきました。 このような経験から、受験指導においては、単に学力向上を目指すだけでなく、成績の変動に伴う生徒様の不安や焦りにも真摯に寄り添い、精神的な側面からも力強くサポートすることを重視しております。目標達成まで、生徒様と保護者様に寄り添い、伴走していくことをお約束いたします。 特に雙葉中学校の受験対策においては、私自身の合格経験が強みとなります。国語の指導では、過去問を徹底的に分析し、実践を通して培った具体的な解法や記述のポイント、効果的な時間配分など、雙葉独自の出題傾向に合わせた実践的なアドバイスを提供いたします。 生徒様が自信を持って本番に臨めるよう、合格に向けた最適な学習プランを提案し、全力でサポートさせていただきます。

当会からの紹介

自然な笑顔が印象的で、保護者様や生徒様から厚い信頼を寄せられる教師です。 親しみやすい人柄は、生徒様が安心して学習に取り組める環境を築く上で大きな強みとなっています。 生徒様一人ひとりの個性や学習状況を深く理解し、精神的な側面からも手厚くサポートすることを重視しています。 学習における不安や焦りといった感情にも丁寧に耳を傾け、生徒様が自信を持って目標に邁進できるよう、きめ細やかなサポートを惜しまない教師です。 生徒様が自らの力で困難を乗り越え、着実に成長できるよう、粘り強く伴走する姿勢が特長です。 単に知識を教えるだけでなく、生徒様の学力向上に直結する具体的かつ実践的な指導を提供しています。 目標達成に向けた明確なロードマップを提示し、日々の学習から定期テスト対策、受験対策まで、効果的な学習方法を伝授する教師です。 学力向上はもちろんのこと、生徒様の内面的な成長も促す、多角的な視点を持った真摯な教師として、自信を持って推薦いたします。

#SAPIX出身 #早稲田アカデミー出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 松田先生

松田先生

  • 男性
  • 東京大学 医学部
  • 灘高等学校
  • 中学受験経験あり
  • 指導塾対応

    SAPIX

自己紹介

私は2年前に不登校で、ご両親にも家庭内暴力を振るう生徒様の家庭教師を担当したことがございました。最初はなかなか心を開いてくれず、指導中に逃げ出されたこともございました。しかしながら、その生徒様と粘り強く向き合っていくうちに、生徒様が幼少期に父親から実現不可能な厳しい期待をかけられ、それを達成できなかったことを厳しく責められて以来、ご両親への鬱屈した思いを持つとともに劣等感を強く抱いていること、本心では親の期待に応えたいと思っているものの、どうすれば良いか分からず、反抗することで「勉強を頑張ってもできない」という現実を直視することから逃げている、ということを打ち明けてくださるようになりました。この経験から、表面上は問題的な行動を取る生徒様でも、粘り強く、本当にその生徒様のためを思って接していれば、やがて心を開いてくださること、そして信頼関係が築ければそこからまた向上心を持って頑張ってくださるということを学びました。このことから、私は塾や学校に馴染めなかったり、学習についていけなかったりする生徒様であっても、決して見捨てることなく、真摯に向き合って指導し、生徒様の人生を良い方向に導きたいと強く思うようになりました。

当会からの紹介

穏やかで礼儀正しく、責任感の強い教師です。傾聴力があり、丁寧に生徒様の状況に寄り添い、課題改善のための最良な方法をご提案し、進捗を細やかに見守ります。粘り強く接することで、生徒様がわかるようになる喜びを感じていただき、向上心につなげる指導を心がけております。

#鉄縁会出身

上記は在籍教師の一例です。他にも様々な経歴の教師が在籍しています。ご希望の条件の教師が在籍しているかは無料でお探しできますので、まずはお気軽にお問合せください。

 

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