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複素数平面の攻略に
必要な考え方

 理系の人は数学Cで複素数平面を学ぶのですが、実際にやってみてどうでしょうか?やることが多くて難しい、と感じたのではないでしょうか?実際その直感は正しいです。複素数平面の問題を解くためにはいくつもの他分野の知識や手法が必要になります。

 

 まず最初に認識していただきたいことは「複素数平面≒ベクトル平面である」ということです。例えば、複素数平面上の点2+iは原点から伸びるベクトル(2,1)とまったく同じです。x軸方向の単位ベクトルを1、y軸方向の単位ベクトルをiと書くことで、ベクトル平面を複素数平面に書き換えられる、といった具合です。

 

 このことを用いれば複素数を図形的に考えられるようになります。純粋な幾何の問題をベクトルで考えると簡単に解決できる場合があるのと同様、普通に数式を計算すると大変な問題もシンプルにすることができます。

 

 また、極座標を同じく数学Cで習ったかと思います。複素数は極座標での表現が可能です。先ほど例に挙げた2+iも、√5(cos30°+isin30°)と書き換えることで、(r,θ)=(√5, 30°)と同じになることがわかります。

 

 さらに複素数には特有の性質があります。複素数z=x+yiに対し、x-yiは共役な複素数と呼ばれ、zの上にバーを付けて表されます。そして、複素数zに対する方程式f(z)=0が複素数αを解に持つ場合、それに共役な複素数も解に含まれます。

 

 ここまでの特徴を知っていれば理論上は複素数平面の問題が解けます。しかし知っているだけではまだ足りません。どのような時にどのルールを適用すれば解けるかまで把握しておかなければ、実際の問題には手も足も出ないでしょう。ここからは実際に問題を解く方法を解説します。

 

 複素数平面の問題を解くための方法は大きく分けて「z=x+yiと置き換える」「z=cosθ+isinθにする」「複素共役を用いる」「図形的に考える」の4択です。早速質問ですが、今回はどのようにすれば解けるでしょうか?考えてみてください。

今回の問題を解くために
必要な考え方

 それでは先ほどの質問の正解を発表します。答えは「z=x+yiまたはz=cosθ+isinθの置き換えと複素共役を両方使う」です。このように複素数平面の分野では上に挙げた方法を複数用いて問題を解くことが多いです。

 

 今回の問題でいえば、3次方程式x^3-x+k=0が与えられているので、まずはこれの解をα、β、γとおきます。さらに、実数でない複素数αに対して、βは共役であるとし、さらにγは実数であるとします。先ほど解説した性質をそのまま活用します。

 

 ここで「いきなりγを実数とおいていいのか?」と思われたかもしれませんが、良いのです。実数全体は複素数全体に含まれます。そして、任意の実数に対して共役な複素数はその実数それ自体になります。これにより、γを実数とすることができます。

 

 次はαとβの表し方を考えます。ここで解法は2つに分岐します。1つはα=x+yi、β=x-yiとするパターン、もう1つはα=cosθ+isinθ、β=cosθ-isinθとおくパターンです。どちらの解法でも問題なく正答することができます。それでは解答をお見せします。

解答

 まず、α=a+biとおいて作った解答がこちらになります。

数学 東工大 1972年 解答1-1 数学 東工大 1972年 解答1-2  

次に、α=cosθ+isinθとした場合の解答を掲載します。

  数学 東工大 1972年 解答2-1 数学 東工大 1972年 解答2-2 数学 東工大 1972年 解答2-3

 このような解答が書ければ完璧であると思われます。k>0によって条件をしぼるとkの値が確定するのでこれも利用することになります。最後の実数解は片っ端から代入して見つけて構いません。実数の解が1つしかないことは予め分かっているからです。

 

 極形式を利用する解答でド・モアブルの定理を使用する際は、必ず定理の名前を書きましょう。書かなければ減点の恐れがあります。また、解答中で3倍角の導出を行う必要はありませんが、3倍角の公式は丸暗記しない方がよいです。加法定理と倍角の定理から毎回導くようにすることをお勧めします。

 

 今回はかなり簡単な問題を選出しましたが、複素数平面の問題をほとんど解いたことがない場合はこれでも難しいと思います。慣れが重要な分野ですので、様々な問題に触れ、多彩な解き方を身につけていくことをお勧めします。

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数学Cの問題を
解けるようにするために

 以上、複素数平面の問題を解いて頂きました。簡単な問題ではありますが、あまり経験がなく、かなり苦労した人もいたのではないでしょうか。

 

 2022年度の教育課程より復活した数学Cには主に「ベクトル」「極形式」「複素数平面」「行列」の4つの単元が含まれます。微積・極限で計算地獄の数学Ⅲとは打って変わって、こちらは複雑な計算はあまり要しません。しかしその分、癖の強いトリッキーな分野が揃っています。

 

 その代表格が複素数平面、というわけです。複素数平面という分野は大学の数学でいえば、主に「線形代数」「ベクトル解析」「複素関数論」「平面幾何学」の4分野に跨ります。そのため教科書などの記述もまとまりを得づらく、初見の生徒様には難しい分野であるといえます。

 

 東大家庭教師友の会では複素数平面に強い家庭教師を紹介できます。彼らは現役で東工大や京大、東大といった難関大学に在籍しており、高い数学の指導力を有しています。彼らをパートナーにできれば、複素数平面のようなトリッキーな分野も怖くないでしょう。

 

 しかし、それは「きちんと手を動かせて」の話です。いくら彼らの指導力が高いとはいえ、生徒様ご自身が自らの手で問題を解くことをしなければ、数学の学力は向上しません。そうなっては、家庭教師を雇う意味などない……そう考えられるかもしれません。

 

 しかし、東大家庭教師友の会の教師であればそのような心配はありません。彼らはモチベーション管理やメンタルケアにおいても卓越しているからです。生徒様と二人三脚で高校の数学を攻略し、第一志望の合格に向けて邁進します。

 

 大学入試の数学を攻略したい、第一志望校に合格したいあなたの背中を、私達東大家庭教師友の会は全力で押します。

東大家庭教師友の会の特徴

当会には、東大生約9,700名、早稲田大学生約8,500名、慶應大生約8,000名をはじめ、現役難関大生が在籍しています。

生徒様に選ばれ続けて26年!“累計指導実績2万名”

生徒様の憧れとなる教師のご紹介と、安心・充実のサポート体制で、生徒様の目標達成に貢献します。

特徴

01

特徴

教師は現役東大生・難関大生・難関大卒プロ

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特徴

指導力が高く、生徒様と相性のよい教師をご紹介

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生徒様ごとの指導計画・進捗管理などの学習サポート

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後払い制・身分保証など、安心安全のシステム

 

大学受験数学の指導ができる家庭教師の紹介

東大家庭教師友の会 | 稲永先生

稲永先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 渋谷教育学園幕張高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は、中学受験から高校卒業に至るまで、周囲の学習をサポートすることに強い喜びを感じてまいりました。 特に、理解につまずいている生徒様に対しては、積極的にアドバイスを提供し、学力向上を支援してまいりました。 これまでの指導経験では、例えば地理の暗記に苦手意識を持っていた生徒様がいました。 私との反復学習を重ねることで、その生徒様は学年が変わる前には見事満点を取得できるようになりました。 どのような生徒様に対しても、一人ひとりの理解度とペースに合わせ、粘り強く丁寧に指導することをお約束いたします。 生徒様が着実に理解を深め、自信を持って学習に取り組めるよう、全力でサポートさせていただきます。

当会からの紹介

穏やかで親しみやすい人柄が、生徒様からの信頼を厚くしている教師です。 指導においては、まず生徒様の理解度を丁寧に把握することに注力する教師です。生徒様一人ひとりの学習意欲を最大限に引き出し、内発的な動機付けを促す目標設定を大切にする教師です。 授業においては、体系的な復習と反復演習を通じて、確実な知識定着を図ることに長けた教師です。生徒様の小さな成長も見逃さず、前向きな声かけで自信を育みながら、粘り強くサポートする教師です。

#SAPIX出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 相川先生

相川先生

  • 女性
  • 東京大学 理学部
  • 洗足学園高等学校
  • 中学受験経験あり

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私は高校時代に、英検5級から準1級まで取得し、短期研修にも3回参加するなど、英語学習に力を入れてまいりました。また、高校時代は理系科目が苦手であったにもかかわらず、理系を選択し、東京大学に合格することができました。そのため、苦手科目との向き合い方や受験のテクニックなどについて、具体的なアドバイスをさせていただけます。指導経験といたしましては、トモノカイの学習メンターとして、英語、数学、物理、化学を指導してまいりました。また、河合塾MEPLOの大学生メンターとして昨年まで高校生の生徒様の学習相談に携わっていた経験もございます。このため、学習内容に関するご質問だけでなく、進路相談や学習計画の立て方など、幅広い面で生徒様のお役に立てると存じます。

当会からの紹介

礼儀正しく、大人っぽく落ち着いた印象の教師です。分析力が高く、根拠を明確かつわかりやすく言語化して伝えることができ、疑問を残さない授業を目指します。苦手科目を克服した経験がございます。生徒様の気持ちに丁寧に寄り添い、必要な改善策や学習計画を具体的に示していきます。

#日能研出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 中田先生

中田先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 洛南高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私自身、中学校に入学するまで、英語学習の経験はございませんでした。同級生と比較すると遅れて英語学習を開始したものの、徐々に長文読解ができるようになる喜びと、将来英語を役立てたいという強い思いから、学習時間の多くを英語に充ててまいりました。 音読やシャドーイングの習慣化、オンライン英会話の活用など、真摯な学習姿勢を継続することで、着実に英語力を向上させることができました。 これまでの経験から、英語学習は一朝一夕にはいかないものの、着実な努力が必ず実を結ぶ科目であると確信しております。 生徒様には、その喜びと達成感を実感していただきたいと強く願っております。具体的な指導においては、生徒様一人ひとりのペースに合わせて学習の習慣化を強力にサポートし、英語力の着実な向上を目指してまいります。

当会からの紹介

生徒様の学習意欲を自然に引き出すことに長けた、温厚で明るい人柄が魅力の教師です。 英語指導においては、個々の生徒様の学習状況を深く理解することから始めます。着実に実力を伸ばすための学習習慣の定着を重視しており、生徒様が自律的に学習に取り組めるよう丁寧に支援します。 生徒様のモチベーションを常に高く保ちながら、目標達成へ向けた具体的なロードマップを共に描き、粘り強く伴走する教師です。

#日能研出身 #河合塾出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 佐伯先生

佐伯先生

  • 女性
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  • 雙葉高等学校
  • 中学受験経験あり

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私は小学3年生よりSAPIXに通塾し、中学受験を経て第一志望の雙葉中学校に合格いたしました。この経験は、生徒様が目標達成に向けて努力する過程を深く理解するための基盤となっています。 組分けテストで思うような結果が出ず、悩んだ時期もございました。しかし、その都度、徹底的な課題分析と学習方法の見直しを重ねることで、着実に成績を向上させてきました。 このような経験から、受験指導においては、単に学力向上を目指すだけでなく、成績の変動に伴う生徒様の不安や焦りにも真摯に寄り添い、精神的な側面からも力強くサポートすることを重視しております。目標達成まで、生徒様と保護者様に寄り添い、伴走していくことをお約束いたします。 特に雙葉中学校の受験対策においては、私自身の合格経験が強みとなります。国語の指導では、過去問を徹底的に分析し、実践を通して培った具体的な解法や記述のポイント、効果的な時間配分など、雙葉独自の出題傾向に合わせた実践的なアドバイスを提供いたします。 生徒様が自信を持って本番に臨めるよう、合格に向けた最適な学習プランを提案し、全力でサポートさせていただきます。

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自然な笑顔が印象的で、保護者様や生徒様から厚い信頼を寄せられる教師です。 親しみやすい人柄は、生徒様が安心して学習に取り組める環境を築く上で大きな強みとなっています。 生徒様一人ひとりの個性や学習状況を深く理解し、精神的な側面からも手厚くサポートすることを重視しています。 学習における不安や焦りといった感情にも丁寧に耳を傾け、生徒様が自信を持って目標に邁進できるよう、きめ細やかなサポートを惜しまない教師です。 生徒様が自らの力で困難を乗り越え、着実に成長できるよう、粘り強く伴走する姿勢が特長です。 単に知識を教えるだけでなく、生徒様の学力向上に直結する具体的かつ実践的な指導を提供しています。 目標達成に向けた明確なロードマップを提示し、日々の学習から定期テスト対策、受験対策まで、効果的な学習方法を伝授する教師です。 学力向上はもちろんのこと、生徒様の内面的な成長も促す、多角的な視点を持った真摯な教師として、自信を持って推薦いたします。

#SAPIX出身 #早稲田アカデミー出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 松田先生

松田先生

  • 男性
  • 東京大学 医学部
  • 灘高等学校
  • 中学受験経験あり
  • 指導塾対応

    SAPIX

自己紹介

私は2年前に不登校で、ご両親にも家庭内暴力を振るう生徒様の家庭教師を担当したことがございました。最初はなかなか心を開いてくれず、指導中に逃げ出されたこともございました。しかしながら、その生徒様と粘り強く向き合っていくうちに、生徒様が幼少期に父親から実現不可能な厳しい期待をかけられ、それを達成できなかったことを厳しく責められて以来、ご両親への鬱屈した思いを持つとともに劣等感を強く抱いていること、本心では親の期待に応えたいと思っているものの、どうすれば良いか分からず、反抗することで「勉強を頑張ってもできない」という現実を直視することから逃げている、ということを打ち明けてくださるようになりました。この経験から、表面上は問題的な行動を取る生徒様でも、粘り強く、本当にその生徒様のためを思って接していれば、やがて心を開いてくださること、そして信頼関係が築ければそこからまた向上心を持って頑張ってくださるということを学びました。このことから、私は塾や学校に馴染めなかったり、学習についていけなかったりする生徒様であっても、決して見捨てることなく、真摯に向き合って指導し、生徒様の人生を良い方向に導きたいと強く思うようになりました。

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穏やかで礼儀正しく、責任感の強い教師です。傾聴力があり、丁寧に生徒様の状況に寄り添い、課題改善のための最良な方法をご提案し、進捗を細やかに見守ります。粘り強く接することで、生徒様がわかるようになる喜びを感じていただき、向上心につなげる指導を心がけております。

#鉄縁会出身

上記は在籍教師の一例です。他にも様々な経歴の教師が在籍しています。ご希望の条件の教師が在籍しているかは無料でお探しできますので、まずはお気軽にお問合せください。

 

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