今回の問題にまつわる
エピソード

 この問題が出題される3年前に東大で「円周率は3.05より大きいことを証明せよ」という問題が出題され、一時期これが「史上最も短い入試問題」になっていました。それで対抗心を燃やしたのか、京都大学が2006年の後期試験の文理共通問題として出題したのが今回の問題です。

 

 tan1°をそれぞれ「t」「a」「n」「1」「°」と切り分けて数えても、最後のピリオドを足してもたったの11文字。これだけで大学入試の数学の問題として成立するという、この時点でも良い問題であることは確かですが、解いてみても素晴らしいのがこの問題です。その理由を見ていきましょう。

今回の問題を解くために
必要な考え方

 数学の問題を解くためにまず最初にすることは何でしょうか?もちろん、「問題文を読む」ことです。ですが、今回は問題文にたったこれだけの情報量しかありません。そのため、いつも以上に問題文をしっかりと分析する必要があります。

 

 じゃあ一体どう読めばいいのでしょうか?まずは問題をいくつかの要素に分解します。まず、「tan1°」「有理数」「」の3つに分けましょう。

 

 最初に考えるべきは」の部分です。この部分を補って元の問題を読むと、「tan1°は有理数ですか?それとも違いますか?」という意味になるのは明らかです。そのため、「有理数であること」の反対を探すために、次は「有理数」の部分について考えます。

 

 高校の範囲では複素数までを扱います。複素数の中には実数があり、実数は例外なく有理数と無理数に分けられます。当たり前のことのようですが、tan1°は有理数か無理数のどちらかです。

 

 こうした二者択一の問題は背理法で処理することになります。あらかじめtan1°」が有理数かどうかの見当をつけて、違うと感じた方であると仮定して書き始めることになります。

 

 これから解答を書きます。まだ答えが出ていない人は、とりあえずどちらかだけ予想してみてください。可能なら手を動かして答案を書いてみましょう。

解答

 解答は以下の通りになります。

京大入試 数学 tan1°は有理数か 解答

 また、帰納法ではなく、倍角の公式を使った方法でも解けます。その方針で作成した解答も以下に掲載します。

  京大入試 数学 tan1°は有理数か 解答2

 どちらの解答でも、tan1°は無理数であるという見切りをつけて、tan1°が有理数だとすれば矛盾が起こることを示すというやり方をとっています。tan30°=1/√3は教科書に載っており、また√3が無理数であることは広く知られる数学的知識なので、省略しても問題はないでしょう。

 

 ですが、√3が無理数であることはきちんと証明できるべきでしょう。これも背理法による証明です。以下に証明を書いておきますので、何も見ずともすらすら書けるようにしておきましょう。

京大入試 数学 √3は無理数

類題を解いてみよう

 以上、「日本の大学入試史上最も短い数学の問題」を紹介しました。ですが、もっと短い問題もこの世には存在します。今回はそのような「とても短い問題」をあと2題紹介します。

第1問:ax=bを解け。

 これは筆者が昔お世話になった数学の先生がよく出題していた問題です。「このようなものは中学生でも解けるのでは?」って思われるかもしれませんが、果たしてどうでしょう?解答はこちらです。

京大入試 数学 ax=bを解け

 どうでしょう?x=b/aだけ書いて満足してはいけませんよ。aが0でない場合でしかそれは成立しません。実際に解答を書き始める前に立ち止まる必要があることを教えてくれるいい問題です。どこかの大学入試にもこれから出現するかもしれません。

第2問:3^√3は整数か?

 2022年の春先に「5^πは整数か?」という問題が現れました。実際の大学入試の問題ではないのですが、「京大の問題より短い!」ということで一部では結構話題になったようです。この問題は高校数学の範囲内で解くのは厳しいので、見出しに示した問題で代用します。

 

 √3の概数値が1.7320508……となることは知っているかと思います。今回はこれを用いて解きますが、この事実をそのまま使ったところで解けるものでもありません。一工夫要ります。それは、√3をこの値に近い有理数ではさみ、3^√3が整数となりえないことを大小比較で示すことです。

京大入試 数学 3^√3は整数か

 こうしてみれば中学生でも解けそうなほど簡単な問題です。しかしこれだけ問題文が短いと、そこからどうやって解答に辿り着けばよいのか、ビジョンが浮かばないかもしれません。それでも「3^√3が整数だと仮定すればおかしいことを示す」という基本方針は変わりません。臆せずにいきましょう。

 

 1<√3<2であることから「もし整数なら4,5,6,7,8のどれかになるだろう」と考えてから解き始めてここまでしぼるのがよさそうです。この一題だけで記事を書けそうなほどいい問題ではありますが、これは架空の入試問題です。本番でこれが出題されたら幸運程度に考えてください。

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実際の大学入試本番で
合格点を取るためには?

 以上3題、「極端に短い数学の問題」を見ていただきました。ですが、このような問題は一般には「捨て問」となります。ほとんどの場合は、問題文中のヒントがあまりに少ないものは無視し、他の簡単なものを解くことになります。

 

 ではなぜ今回ここで解いたのか?と思われるかもしれません。それはひとえに大学入試、そして数学という科目の本番には魔物が棲んでいるためです。今回のtan1°の問題が出題された京都大学でも、直近では2020年度入試は受験生のトラウマになるほど恐ろしいものでした。

 

 まれに「一題たりとも基本問題が存在しない」出題セットが出現し、簡単な問題で点を稼ごうとする作戦が通用しない年があります。もし本番でそのような事態が起きたらどうするか、それを想定した対策を立てねばなりません。「大失敗しても受かる」ようにする必要があります。

 

 そのためにはひたすら問題を解いていくしかありません。数学が難しい場合は他教科でカバーするのが鉄則ですが、それでも合格ライン付近は熾烈な争いです。この争いに打ち勝つためにも、数学で1点でも多く取れるよう日々努力する必要があります。

 

 しかし、そのための努力は容易なものではありません。数学などどうせギャンブルなのだから、こんな教科のために労力を費やしたくないと考えてしまうのも自然なことです。それに、どうせ入試に向けた数学の勉強をするなら、苦しまない、楽しい方法で実力を伸ばしたいところです。

 

 そのようなお悩みを解決できるのが東大家庭教師友の会所属の学生家庭教師です。彼らは数学の指導に優れるだけでなく、お兄さんお姉さん感覚で接することができるので、日々楽しく実力をつけることができます。悩み事がある場合も、積極的に相談に乗ってくれます。

 

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東大家庭教師友の会の特徴

当会には、東大生約9,700名、早稲田大学生約8,500名、慶應大生約8,000名をはじめ、現役難関大生が在籍しています。

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生徒様の憧れとなる教師のご紹介と、安心・充実のサポート体制で、生徒様の目標達成に貢献します。

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教師は現役東大生・難関大生・難関大卒プロ

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大学受験数学の指導ができる家庭教師の紹介

東大家庭教師友の会 | 稲永先生

稲永先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 渋谷教育学園幕張高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は、中学受験から高校卒業に至るまで、周囲の学習をサポートすることに強い喜びを感じてまいりました。 特に、理解につまずいている生徒様に対しては、積極的にアドバイスを提供し、学力向上を支援してまいりました。 これまでの指導経験では、例えば地理の暗記に苦手意識を持っていた生徒様がいました。 私との反復学習を重ねることで、その生徒様は学年が変わる前には見事満点を取得できるようになりました。 どのような生徒様に対しても、一人ひとりの理解度とペースに合わせ、粘り強く丁寧に指導することをお約束いたします。 生徒様が着実に理解を深め、自信を持って学習に取り組めるよう、全力でサポートさせていただきます。

当会からの紹介

穏やかで親しみやすい人柄が、生徒様からの信頼を厚くしている教師です。 指導においては、まず生徒様の理解度を丁寧に把握することに注力する教師です。生徒様一人ひとりの学習意欲を最大限に引き出し、内発的な動機付けを促す目標設定を大切にする教師です。 授業においては、体系的な復習と反復演習を通じて、確実な知識定着を図ることに長けた教師です。生徒様の小さな成長も見逃さず、前向きな声かけで自信を育みながら、粘り強くサポートする教師です。

#SAPIX出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 相川先生

相川先生

  • 女性
  • 東京大学 理学部
  • 洗足学園高等学校
  • 中学受験経験あり

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私は高校時代に、英検5級から準1級まで取得し、短期研修にも3回参加するなど、英語学習に力を入れてまいりました。また、高校時代は理系科目が苦手であったにもかかわらず、理系を選択し、東京大学に合格することができました。そのため、苦手科目との向き合い方や受験のテクニックなどについて、具体的なアドバイスをさせていただけます。指導経験といたしましては、トモノカイの学習メンターとして、英語、数学、物理、化学を指導してまいりました。また、河合塾MEPLOの大学生メンターとして昨年まで高校生の生徒様の学習相談に携わっていた経験もございます。このため、学習内容に関するご質問だけでなく、進路相談や学習計画の立て方など、幅広い面で生徒様のお役に立てると存じます。

当会からの紹介

礼儀正しく、大人っぽく落ち着いた印象の教師です。分析力が高く、根拠を明確かつわかりやすく言語化して伝えることができ、疑問を残さない授業を目指します。苦手科目を克服した経験がございます。生徒様の気持ちに丁寧に寄り添い、必要な改善策や学習計画を具体的に示していきます。

#日能研出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 中田先生

中田先生

  • 女性
  • 東京大学 教養学部
  • 洛南高等学校
  • 中学受験経験あり

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私自身、中学校に入学するまで、英語学習の経験はございませんでした。同級生と比較すると遅れて英語学習を開始したものの、徐々に長文読解ができるようになる喜びと、将来英語を役立てたいという強い思いから、学習時間の多くを英語に充ててまいりました。 音読やシャドーイングの習慣化、オンライン英会話の活用など、真摯な学習姿勢を継続することで、着実に英語力を向上させることができました。 これまでの経験から、英語学習は一朝一夕にはいかないものの、着実な努力が必ず実を結ぶ科目であると確信しております。 生徒様には、その喜びと達成感を実感していただきたいと強く願っております。具体的な指導においては、生徒様一人ひとりのペースに合わせて学習の習慣化を強力にサポートし、英語力の着実な向上を目指してまいります。

当会からの紹介

生徒様の学習意欲を自然に引き出すことに長けた、温厚で明るい人柄が魅力の教師です。 英語指導においては、個々の生徒様の学習状況を深く理解することから始めます。着実に実力を伸ばすための学習習慣の定着を重視しており、生徒様が自律的に学習に取り組めるよう丁寧に支援します。 生徒様のモチベーションを常に高く保ちながら、目標達成へ向けた具体的なロードマップを共に描き、粘り強く伴走する教師です。

#日能研出身 #河合塾出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 佐伯先生

佐伯先生

  • 女性
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  • 雙葉高等学校
  • 中学受験経験あり

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私は小学3年生よりSAPIXに通塾し、中学受験を経て第一志望の雙葉中学校に合格いたしました。この経験は、生徒様が目標達成に向けて努力する過程を深く理解するための基盤となっています。 組分けテストで思うような結果が出ず、悩んだ時期もございました。しかし、その都度、徹底的な課題分析と学習方法の見直しを重ねることで、着実に成績を向上させてきました。 このような経験から、受験指導においては、単に学力向上を目指すだけでなく、成績の変動に伴う生徒様の不安や焦りにも真摯に寄り添い、精神的な側面からも力強くサポートすることを重視しております。目標達成まで、生徒様と保護者様に寄り添い、伴走していくことをお約束いたします。 特に雙葉中学校の受験対策においては、私自身の合格経験が強みとなります。国語の指導では、過去問を徹底的に分析し、実践を通して培った具体的な解法や記述のポイント、効果的な時間配分など、雙葉独自の出題傾向に合わせた実践的なアドバイスを提供いたします。 生徒様が自信を持って本番に臨めるよう、合格に向けた最適な学習プランを提案し、全力でサポートさせていただきます。

当会からの紹介

自然な笑顔が印象的で、保護者様や生徒様から厚い信頼を寄せられる教師です。 親しみやすい人柄は、生徒様が安心して学習に取り組める環境を築く上で大きな強みとなっています。 生徒様一人ひとりの個性や学習状況を深く理解し、精神的な側面からも手厚くサポートすることを重視しています。 学習における不安や焦りといった感情にも丁寧に耳を傾け、生徒様が自信を持って目標に邁進できるよう、きめ細やかなサポートを惜しまない教師です。 生徒様が自らの力で困難を乗り越え、着実に成長できるよう、粘り強く伴走する姿勢が特長です。 単に知識を教えるだけでなく、生徒様の学力向上に直結する具体的かつ実践的な指導を提供しています。 目標達成に向けた明確なロードマップを提示し、日々の学習から定期テスト対策、受験対策まで、効果的な学習方法を伝授する教師です。 学力向上はもちろんのこと、生徒様の内面的な成長も促す、多角的な視点を持った真摯な教師として、自信を持って推薦いたします。

#SAPIX出身 #早稲田アカデミー出身 #鉄縁会出身 #東進出身
東大家庭教師友の会 | 松田先生

松田先生

  • 男性
  • 東京大学 医学部
  • 灘高等学校
  • 中学受験経験あり
  • 指導塾対応

    SAPIX

自己紹介

私は2年前に不登校で、ご両親にも家庭内暴力を振るう生徒様の家庭教師を担当したことがございました。最初はなかなか心を開いてくれず、指導中に逃げ出されたこともございました。しかしながら、その生徒様と粘り強く向き合っていくうちに、生徒様が幼少期に父親から実現不可能な厳しい期待をかけられ、それを達成できなかったことを厳しく責められて以来、ご両親への鬱屈した思いを持つとともに劣等感を強く抱いていること、本心では親の期待に応えたいと思っているものの、どうすれば良いか分からず、反抗することで「勉強を頑張ってもできない」という現実を直視することから逃げている、ということを打ち明けてくださるようになりました。この経験から、表面上は問題的な行動を取る生徒様でも、粘り強く、本当にその生徒様のためを思って接していれば、やがて心を開いてくださること、そして信頼関係が築ければそこからまた向上心を持って頑張ってくださるということを学びました。このことから、私は塾や学校に馴染めなかったり、学習についていけなかったりする生徒様であっても、決して見捨てることなく、真摯に向き合って指導し、生徒様の人生を良い方向に導きたいと強く思うようになりました。

当会からの紹介

穏やかで礼儀正しく、責任感の強い教師です。傾聴力があり、丁寧に生徒様の状況に寄り添い、課題改善のための最良な方法をご提案し、進捗を細やかに見守ります。粘り強く接することで、生徒様がわかるようになる喜びを感じていただき、向上心につなげる指導を心がけております。

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