今回の問題にまつわる
エピソード

 この問題が出題される3年前に東大で「円周率は3.05より大きいことを証明せよ」という問題が出題され、一時期これが「史上最も短い入試問題」になっていました。それで対抗心を燃やしたのか、京都大学が2006年の後期試験の文理共通問題として出題したのが今回の問題です。

 

 tan1°をそれぞれ「t」「a」「n」「1」「°」と切り分けて数えても、最後のピリオドを足してもたったの11文字。これだけで大学入試の数学の問題として成立するという、この時点でも良い問題であることは確かですが、解いてみても素晴らしいのがこの問題です。その理由を見ていきましょう。

今回の問題を解くために
必要な考え方

 数学の問題を解くためにまず最初にすることは何でしょうか?もちろん、「問題文を読む」ことです。ですが、今回は問題文にたったこれだけの情報量しかありません。そのため、いつも以上に問題文をしっかりと分析する必要があります。

 

 じゃあ一体どう読めばいいのでしょうか?まずは問題をいくつかの要素に分解します。まず、「tan1°」「有理数」「」の3つに分けましょう。

 

 最初に考えるべきは」の部分です。この部分を補って元の問題を読むと、「tan1°は有理数ですか?それとも違いますか?」という意味になるのは明らかです。そのため、「有理数であること」の反対を探すために、次は「有理数」の部分について考えます。

 

 高校の範囲では複素数までを扱います。複素数の中には実数があり、実数は例外なく有理数と無理数に分けられます。当たり前のことのようですが、tan1°は有理数か無理数のどちらかです。

 

 こうした二者択一の問題は背理法で処理することになります。あらかじめtan1°」が有理数かどうかの見当をつけて、違うと感じた方であると仮定して書き始めることになります。

 

 これから解答を書きます。まだ答えが出ていない人は、とりあえずどちらかだけ予想してみてください。可能なら手を動かして答案を書いてみましょう。

解答

 解答は以下の通りになります。

京大入試 数学 tan1°は有理数か 解答

 また、帰納法ではなく、倍角の公式を使った方法でも解けます。その方針で作成した解答も以下に掲載します。

  京大入試 数学 tan1°は有理数か 解答2

 どちらの解答でも、tan1°は無理数であるという見切りをつけて、tan1°が有理数だとすれば矛盾が起こることを示すというやり方をとっています。tan30°=1/√3は教科書に載っており、また√3が無理数であることは広く知られる数学的知識なので、省略しても問題はないでしょう。

 

 ですが、√3が無理数であることはきちんと証明できるべきでしょう。これも背理法による証明です。以下に証明を書いておきますので、何も見ずともすらすら書けるようにしておきましょう。

京大入試 数学 √3は無理数

類題を解いてみよう

 以上、「日本の大学入試史上最も短い数学の問題」を紹介しました。ですが、もっと短い問題もこの世には存在します。今回はそのような「とても短い問題」をあと2題紹介します。

第1問:ax=bを解け。

 これは筆者が昔お世話になった数学の先生がよく出題していた問題です。「このようなものは中学生でも解けるのでは?」って思われるかもしれませんが、果たしてどうでしょう?解答はこちらです。

京大入試 数学 ax=bを解け

 どうでしょう?x=b/aだけ書いて満足してはいけませんよ。aが0でない場合でしかそれは成立しません。実際に解答を書き始める前に立ち止まる必要があることを教えてくれるいい問題です。どこかの大学入試にもこれから出現するかもしれません。

第2問:3^√3は整数か?

 2022年の春先に「5^πは整数か?」という問題が現れました。実際の大学入試の問題ではないのですが、「京大の問題より短い!」ということで一部では結構話題になったようです。この問題は高校数学の範囲内で解くのは厳しいので、見出しに示した問題で代用します。

 

 √3の概数値が1.7320508……となることは知っているかと思います。今回はこれを用いて解きますが、この事実をそのまま使ったところで解けるものでもありません。一工夫要ります。それは、√3をこの値に近い有理数ではさみ、3^√3が整数となりえないことを大小比較で示すことです。

京大入試 数学 3^√3は整数か

 こうしてみれば中学生でも解けそうなほど簡単な問題です。しかしこれだけ問題文が短いと、そこからどうやって解答に辿り着けばよいのか、ビジョンが浮かばないかもしれません。それでも「3^√3が整数だと仮定すればおかしいことを示す」という基本方針は変わりません。臆せずにいきましょう。

 

 1<√3<2であることから「もし整数なら4,5,6,7,8のどれかになるだろう」と考えてから解き始めてここまでしぼるのがよさそうです。この一題だけで記事を書けそうなほどいい問題ではありますが、これは架空の入試問題です。本番でこれが出題されたら幸運程度に考えてください。

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実際の大学入試本番で
合格点を取るためには?

 以上3題、「極端に短い数学の問題」を見ていただきました。ですが、このような問題は一般には「捨て問」となります。ほとんどの場合は、問題文中のヒントがあまりに少ないものは無視し、他の簡単なものを解くことになります。

 

 ではなぜ今回ここで解いたのか?と思われるかもしれません。それはひとえに大学入試、そして数学という科目の本番には魔物が棲んでいるためです。今回のtan1°の問題が出題された京都大学でも、直近では2020年度入試は受験生のトラウマになるほど恐ろしいものでした。

 

 まれに「一題たりとも基本問題が存在しない」出題セットが出現し、簡単な問題で点を稼ごうとする作戦が通用しない年があります。もし本番でそのような事態が起きたらどうするか、それを想定した対策を立てねばなりません。「大失敗しても受かる」ようにする必要があります。

 

 そのためにはひたすら問題を解いていくしかありません。数学が難しい場合は他教科でカバーするのが鉄則ですが、それでも合格ライン付近は熾烈な争いです。この争いに打ち勝つためにも、数学で1点でも多く取れるよう日々努力する必要があります。

 

 しかし、そのための努力は容易なものではありません。数学などどうせギャンブルなのだから、こんな教科のために労力を費やしたくないと考えてしまうのも自然なことです。それに、どうせ入試に向けた数学の勉強をするなら、苦しまない、楽しい方法で実力を伸ばしたいところです。

 

 そのようなお悩みを解決できるのが東大家庭教師友の会所属の学生家庭教師です。彼らは数学の指導に優れるだけでなく、お兄さんお姉さん感覚で接することができるので、日々楽しく実力をつけることができます。悩み事がある場合も、積極的に相談に乗ってくれます。

 

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大学受験数学の指導ができる家庭教師の紹介

東大家庭教師友の会 | 相川先生

相川先生

  • 女性
  • 東京大学 理学部
  • 洗足学園高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は高校時代に、英検5級から準1級まで取得し、短期研修にも3回参加するなど、英語学習に力を入れてまいりました。また、高校時代は理系科目が苦手であったにもかかわらず、理系を選択し、東京大学に合格することができました。そのため、苦手科目との向き合い方や受験のテクニックなどについて、具体的なアドバイスをさせていただけます。指導経験といたしましては、トモノカイの学習メンターとして、英語、数学、物理、化学を指導してまいりました。また、河合塾MEPLOの大学生メンターとして昨年まで高校生の生徒様の学習相談に携わっていた経験もございます。このため、学習内容に関するご質問だけでなく、進路相談や学習計画の立て方など、幅広い面で生徒様のお役に立てると存じます。

当会からの紹介

礼儀正しく、大人っぽく落ち着いた印象の教師です。分析力が高く、根拠を明確かつわかりやすく言語化して伝えることができ、疑問を残さない授業を目指します。苦手科目を克服した経験がございます。生徒様の気持ちに丁寧に寄り添い、必要な改善策や学習計画を具体的に示していきます。

#日能研出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 勝田先生

勝田先生

  • 女性
  • 慶應義塾大学 経済学部
  • 桜蔭高等学校
  • 中学受験経験あり

自己紹介

私は高校時代、数学を最も苦手としており、偏差値は40台に留まっておりました。 しかし、東大家庭教師友の会の教師にご指導いただく中で、鉄緑会の演習において上位に名を連ねるまでに、成績を飛躍的に向上させることができました。 当時の教師は、単に解法を教えるだけでなく、私自身の言葉で解説する時間を必ず設けてくださいました。 これにより、理解の曖昧さが明確になり、学習の質が大きく変化したことを実感しております。 また、解法の構造的な整理と、個々の状況に合わせた学習計画の徹底的な管理が、私の成長に不可欠でした。 この貴重な経験から、成績向上には以下の3つの要素が極めて重要であると確信しております。 思考の整理: 表面的な暗記ではなく、本質的な理解を促す指導 計画管理: 目標達成に向けた具体的かつ継続可能な学習設計 精神的な支え: 学習へのモチベーションを維持し、自信を育むサポート 指導においては、生徒様ご自身に問題を説明していただきながら、その理解度を深く確認することを重視しております。 これにより、解法を構造的に整理し、生徒様一人ひとりに合わせた最適な学習設計を通じて、着実に成長へと導いてまいります。

当会からの紹介

生徒様の心に寄り添い、優しく導くことに長けた教師です。その穏やかで親しみやすい人柄は、生徒様から厚い信頼を寄せられています。 指導においては、成績向上に不可欠な要素として、以下の3点を重視する教師です。 思考の整理 計画管理 精神的な支え 具体的な指導では、生徒様が自ら問題を説明する過程を重視し、理解度を詳細に確認することに長けた教師です。単なる知識の詰め込みではなく、解法の本質を構造的に整理することで、応用力と考える力を育むことに注力する教師です。 さらに、生徒様が自律的に学習を継続できるよう、個々に最適化された学習設計を行うことに長けている教師です。生徒様の潜在能力を最大限に引き出し、着実な成長をサポートする経験豊富な教師です。

#SAPIX出身 #鉄縁会出身 #東進出身 #英検所持
東大家庭教師友の会 | 松田先生

松田先生

  • 男性
  • 東京大学 医学部
  • 灘高等学校
  • 中学受験経験あり
  • 指導塾対応

    SAPIX

自己紹介

私は2年前に不登校で、ご両親にも家庭内暴力を振るう生徒様の家庭教師を担当したことがございました。最初はなかなか心を開いてくれず、指導中に逃げ出されたこともございました。しかしながら、その生徒様と粘り強く向き合っていくうちに、生徒様が幼少期に父親から実現不可能な厳しい期待をかけられ、それを達成できなかったことを厳しく責められて以来、ご両親への鬱屈した思いを持つとともに劣等感を強く抱いていること、本心では親の期待に応えたいと思っているものの、どうすれば良いか分からず、反抗することで「勉強を頑張ってもできない」という現実を直視することから逃げている、ということを打ち明けてくださるようになりました。この経験から、表面上は問題的な行動を取る生徒様でも、粘り強く、本当にその生徒様のためを思って接していれば、やがて心を開いてくださること、そして信頼関係が築ければそこからまた向上心を持って頑張ってくださるということを学びました。このことから、私は塾や学校に馴染めなかったり、学習についていけなかったりする生徒様であっても、決して見捨てることなく、真摯に向き合って指導し、生徒様の人生を良い方向に導きたいと強く思うようになりました。

当会からの紹介

穏やかで礼儀正しく、責任感の強い教師です。傾聴力があり、丁寧に生徒様の状況に寄り添い、課題改善のための最良な方法をご提案し、進捗を細やかに見守ります。粘り強く接することで、生徒様がわかるようになる喜びを感じていただき、向上心につなげる指導を心がけております。

#鉄縁会出身

上記は在籍教師の一例です。他にも様々な経歴の教師が在籍しています。ご希望の条件の教師が在籍しているかは無料でお探しできますので、まずはお気軽にお問合せください。

 

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