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東大入試の数学の良問その1 ~ゆとり教育への挑戦状?~

東大入試の数学の良問その1 ~ゆとり教育への挑戦状?~

東大入試数学の良問 その1

  画像の問題は2003年の東京大学の入学試験で出題された、入試の歴史に残る伝説の問題です。この記事では「この問題のいったい何が凄かったのか」「いったい本番でどうやって解けばいいのか」「別解はないのか」という点を深掘りしていきます。そして、東京大学の出題の特徴や、東大入試突破のコツまで紹介していこうと思います。

 まずは画像の問題にじっくり当たって解いてみましょう。解けたら以下の解説を読んで合っているか確かめましょう。もちろん、まったく解法が見当がつかなかったり、15分ぐらい考えてみたけどわからないといった場合でも下の解説に進んでかまいません。

目次

なぜこの問題は良問なのか?

 この問題はよく「ゆとり教育の一環で円周率を3にしようとする文科省への東京大学による反逆である」といわれます。しかし、初めに言っておくとこれはウソです。実際にはゆとり教育の下でも小学校の教科書では円周率を3.14として教えていました

 人々が「ゆとり教育では円周率が3」という誤解をし、これがなかなか解けなかった要因は大手学習塾による大々的なキャンペーン、およびマスメディアの過剰な報道にあるとされています。当時はネットの普及もそこまで進んでおらず、今よりも正しい情報を得るのが大変な時代ではあったとはいえ、学習指導要領をよく読めば「小学校では円周率は3.14として教えよ。ただし、必要があれば3にする配慮をせよ」という文科省の当初の意図が分かるはずなのです。

 話を戻して、今度は円周率そのものについて考えていきましょう。もちろん円周率は3ではありません。ただし、3.14でもありません。一応こういった数字を使わずに円周率を説明すればギリシア文字を使って「円周率はπ(パイ)である」と言えるでしょう。しかし、「円周率は3.14!」という人を批判する人のうち、どれだけの人が円周率の定義を正しく言えるのでしょうか?

 東京大学の数学の入試問題はこうした本当に基本的な部分を正しく理解しているかどうかが肝なのです。さて、問題は無事解けましたでしょうか?解けたという人も、考えてみてはいるけどまるで見当がつかないという人も一旦、下の解説をご覧ください。まずは、解答に至る切り口から説明していきます。

この問題を解くために
必要な考え方

 初めに円周率の定義を書きます。円周率は、π=(円周)/(円の直径)で与えられます。これは知らなかった、という人がかなり多いかと思います。そうです、小学校で習った円周の公式であるL=2πrをπについて解くことで円周率の定義になるのです。

 今回このことはあまり問題にはなりませんが、このようなことをきちんと抑えられているかどうかは東大入試の肝です。余談ですが、この円周の公式の右辺をrについて0からrまで積分するとπr^2となり、半径rの円の面積になります。

 それではいよいよこの問題の解法を説明します。この問題では「円周率が3.05以下だと何が困るか」を考えれば答えに辿り着きます。なるほど、そういう意味ではこの問題を「ゆとり教育への風刺」と捉えても良さそうですね。

 こうしたことを考える時は簡単な具体例から入るのが基本です。プロの数学者であってもそうしてます。今回は単位円に内接する正六角形を考えましょう。この正六角形は下の図のように、一辺の長さが1の正三角形が6つ集まったもの(市販の6切れに分かれた円形チーズに似てますね)と見ることができます。

円に内接する正六角形

 するとこの正六角形の周の長さは6になります。次は単位円の円周を考えましょう。これは先ほどの式から2πとなりますが、ここでπ=3を代入してみます。すると単位円の円周は6になります。もうお気づきかと思いますが、そうです。仮に円周率を3にしてしまうと、単位円の円周とそれに内接する正六角形の周の長さが一致するという、明らかに直観から外れた結果になってしまうのです……!

 同じ2点間を結ぶなら直線で結ぶのが最短に決まっています。なのでこの図形を見るだけで2π>6、すなわちπ>3がわかります。……さて、突破口は見えましたか?そうです。これからあなたにやっていただく操作は、このまま正〇角形の数字をどんどん大きくして、π>3.05がわかるまで試してみることなのです!

 まだ解けていない、という方はここで一旦下にスクロールするのをやめ、実際に紙とペンを用意して解いてみましょう。流れは先ほどの論証と同じですが、内接する図形はかなり複雑なものになります。そうなると少しだけ計算が大変ですが、東大を受けるなら解けて当然のレベルです。確実にビタッ!と合わせましょう。

解答(円周の長さを用いる方法)

 解答はこちらになります。ここでは正十二角形を使っています。

円周率が3.05より大きいことを証明せよ 解答1-1
円周率が3.05より大きいことを証明せよ 解答1-1
円周率が3.05より大きいことを証明せよ 解答1-2
円周率が3.05より大きいことを証明せよ 解答1-2

  どうでしたか?この解答では二重根号を公式通りのやり方(覚えていますか?)で外しましたが、本番でド忘れした場合は両辺を2乗して解決できます。その場合はπの2乗を3.05の2乗と比較することになるので、そこだけは間違えないようにしましょう。

 また、√2と√3の値の評価はきっちりとやりましょう。πの値が未知なのに同じ無理数の√2と√3の値が既知というのも変な話のように思えますが、流石にそれらの値は使っていいと思います。√2=1.41421356…と√3=1.7320508…は東大受験生なら誰でも知っていることかと思いますが、今回はあえて√2は1.415以下、√3は1.732以上という扱いをしました。なぜでしょう?

 その答えは誤差の問題があるからです。あまり位の多すぎる数字を使っても計算を煩雑にするだけなので最小限の数字で堅実にやりたいところですが、そこで例えば√2≒1.41、√3≒1.73のように計算式を書き直してしまうと、この段階で有効数字の関係が滅茶苦茶になり、実際の計算結果と大幅にズレることになるためです。

 今回は√2については有効数字3桁で√2≦1.41としてもよいですが、√3に関しては引き算があるので√3≧1.732としなければ減点です。最終的には3桁の数字で6.10と比較できるようにしましょう。

 ちなみに、この問題は本番での出来はかなり悪かったようです。このレベルの正答率であれば答えまでの筋道がそれらしく書けているだけでかなりの得点を期待できますが、簡単な問題での証明の粗さは確実に合否に響きます。例えば先ほどの√2と√3の評価の話にしても、ここをサボるだけで半分ぐらいの点数を持っていかれる、というようなことは十分ありえる話です。

別解・面積を比較する

 数学の問題を解く際は、時間に余裕があれば別解がないか探してみましょう。「もう既に解き方見つけたのに、なんでわざわざそんなことを?」と思われる受験生も多いかと思います。確かに、別解探しをすると1つの問題にかかる時間はその分長くなり、一見非効率的です。

 しかし、別解を探すことは数学を勉強する上ではとても大切なことです。複数の別解を試すことで、数学を学ぶ上で必要な視点をたくさん得ることができます。受験の世界でも、様々な方法を頭の中に準備できるようになり、初見の問題でもすらすら解ける確率が上がるという明白なメリットがあるのです。

 この問題は単位円とそれに内接する図形の面積を比較することでも解くことができます。具体的には正24角形を用い、面積比較を行うことになります。

円周率が3.05より大きいことを証明せよ 解答2
円周率が3.05より大きいことを証明せよ 解答2

 こちらの方が計算は簡単に済みそうです。余弦定理より三角形の面積公式の方が計算は楽であることが多いです。本番では1%程度、この解き方を試した受験生がいたそうです。

東大入試の数学はこう攻めよ
~この問題から分かること~

 ここからは特に東京大学の入試の数学を解く上で重要なことについて話していきます。東京大学を目指している方はもちろん、他の大学を目指しているという方にも大切なことを書いておりますので、ぜひ最後までお読みください。

 今回の問題を解いてて恐らく多くの方が思ったことは、どの図形であればπ>3.05を示せるのか?という図形を探す作業が結構しんどい、ということだと思います。一番計算が容易な正方形ではπ>3、ルートが見えてちょっと計算がしんどくなる正八角形でもπ^2>9.28(3.05^2の値は9.3025)と、なかなか思うような結果が得られません。

 例え解法が見えても、それを答えに起こす作業も一苦労なのが東大入試です。なかなかすんなりとはいきません。先ほど、この問題の解答を作るための計算はできて当たり前のように書きましたが、その理由は東大の数学はこのような面倒な作業の連続な上、時間の制約も文科は100分で4問、理科は150分で6問というとても厳しいものだからなのです。

 入試そのものの詳細はこちらの東大入試解説ページをご覧いただくとして、東大の数学がなぜこのような出題であるかということを話します。その理由はこれが「数学者としての適性が見られるテスト」になっているからです。こんな退屈な作業を繰り返すだけのもののどこがそうなんだ、と思われるかもしれませんが、この単調な計算や具体例の検証の繰り返しが数学をする上ではとても重要なのです。

 東大数学科の某教授は「数学を考えようと思って考えるうちは二流である。無意識に夢の中でも考えられるようになって初めて一流である」などと言ったといわれています。発言自体の真偽のほどは定かではありませんが、これは数学という学問の特徴をよく言い当てているといえます。数学では天才的な発見をする閃きも大事ですが、目の前の単調な計算や検証作業をずっとやり続けられる根気強さの方がずっと重要になるのです。

 東大の数学はこのために計算量や具体例の検証の量がとても多くなっています。この円周率の問題1つ取ってもそうです。そしてこの傾向は他大でも大して変わりなく、計算や検証を愚直に行う根気強さはとても重要であることがわかります。

 ですから、大学入試の数学を、特に東大入試の数学を攻略するためには、日頃から計算練習を重ね、鍛えていくことがとても重要なのです。とはいえ、この程度であれば一人でできる、という方も多いかもしれません。

 しかし、一人での勉強は得てして心細いものです。大学入試の直前期では1日10時間の勉強は当たり前で、東大の理科三類ともなれば、1日15時間やるのは当たり前の世界です。毎日それだけの長い時間、誰からの大した支えもない状況のもとでは心細くなって、自分が何のために今勉強をしているのかすらも分からなくなります。そのうちにライバルには水をあけられ、当初夢見ていた志望校への合格からはすぐに遠ざかってしまいます。

 そうならないためにはどうすればいいか?答えは単純、心強い仲間を見つけることです。そして、心強い仲間とは例えば、かつて東大の数学を突破するために必死に勉強し、その結果見事東大合格を勝ち取った、現役東大生の人たちです。

 東大家庭教師友の会では、このような現役東大生の家庭教師をご紹介できます。選び抜かれた優秀な教師の指導が比較的安価に受けられるほか、生徒様ご自身で細かい条件から先生を指名できますし、日々の訓練に必要なモチベーションの管理も徹底的にいたします。東大に合格したい、数学をもっと得意にしたいという生徒様を、友の会は全力でサポート致します。

東大数学の攻略には友の会がおすすめ!

友の会の7つのメリット

 東大家庭教師友の会には以下の7つのメリットがあります。全部一気に紹介するので少々長くなってしまうかもしれませんが、至れり尽くせりの充実なラインナップです。ぜひ最後までご覧ください!

①実際に東京大学に合格した先生を紹介できる!

国内最多の難関大家庭教師
国内最多の難関大家庭教師

 まず、友の会が採用する家庭教師は関東地方であればすべて東大や東工大、一橋大などの難関大に所属する学生家庭教師です。学生家庭教師は生徒様と2~3年程しか歳が離れておらず、プロ家庭教師に比べ、生徒様により親身になって指導をすることができます。

 そして何より、生徒様に対して実際に東京大学に合格した先生をご紹介できる点が我々の強みです。彼らは東京大学に合格してまだ日が浅く、受験時のことを鮮明に覚えています。その経験を活かし、大学受験の頼れる先輩として生徒様のお力になれます。

②教師の採用率は20%以下!

採用率20%以下のトップクラス教師
採用率20%以下のトップクラス教師

 「学生家庭教師はプロに比べて質が心配…」という方も多いかと思います。しかしご安心ください。友の会では採用率が20%もないほど厳しい審査を希望者に課し、実際にその審査を通過できた信頼に値する教師のみを生徒様にご紹介します。彼らは実際に勉強ができるだけでなく人間性にも優れており、生徒様に対して献身的なサポートをすることができます。

③細かい条件から理想の教師を選べる!

目的に合った教師
目的に合った教師

国内最多の難関大生が所属している友の会には、バリエーション豊かな家庭教師が在籍していますから、当然教師によって出身校や出身塾などの細かい条件が変わってきます。生徒様はそうした数多く教師の中から、複数の条件で絞り込み、ご希望通りの先生を雇うことが出来ます。

④150分間の無料体験授業を受けられる!

無料体験授業概要

 東大家庭教師友の会では、2時間30分(授業90分+学習プランシート作成30分+面接30分)の体験授業ををした上で、ご入会を検討していただけます。実際の授業と同様に、教師との相性や指導の質まで十分に判断することができますので、安心してご入会していただくことができます。

 また、このような体験授業に際して体験授業用のスタッフを派遣する家庭教師業者が散見されます。ですが、友の会では実際にその後の授業を担当する教師を体験授業に派遣しますので、そのあたりも安心していただけると思います。

⑤マイページで自分の成長を確認できる!

生徒専用マイページ

 東大家庭教師友の会では、生徒様1人1人に専用マイページをご用意しております。

 マイページ上では、教師からの指導報告(指導時間・宿題の達成度・授業内容・生徒様の理解度・次回までの宿題など)などを閲覧することができるため、生徒様の成長をいつでもご確認いただけます。

⑥徹底的なモチベーション管理!

学習サポート詳細

 東大家庭教師友の会の教師は、生徒様の学習が成果につなげられるように、授業以外にも充実した学習サポートを行なっております。

 受験勉強とは長く険しく、大変な道のりです。一人で勉強していると思うように成績が伸びずに机に向かうのが嫌になってしまったり、だらけてしまったりもするでしょう。ですが、友の会の家庭教師はそうした生徒様の悩みにも親身に相談に乗り、入試まで抜群のモチベーション管理能力を発揮します。

⑦かかる料金は5つだけ!

かかるのは5つの料金のみ

料金

※体験授業に関して1回目は無料ですが、2回目以降は教師の交代料金として5,500円が発生します。しかし、何人受けても5,500円以上発生することはありません。

友の会では、入会金・体験授業料(初回無料)・授業料・教師交通費・学習サポート費以外の料金はいただいておりませんよくある教材費などの料金はございませんのでご安心ください。ご家庭に安心してご利用していただけるよう適正かつ明確な料金体系を実現しております。

他社の家庭教師とはどう違う?

 次に、東大家庭教師友の会と他社の違いを紹介します。ここでは大きく分けて「①派遣する教師」と「②料金」の2つに分けて解説していきます。

①派遣する教師の違い

 まず、派遣する教師の違いについてです。友の会は採用率20%以下の厳しい審査を通過した優秀な難関大在籍の家庭教師を派遣しています。一方、他社は友の会のような学生家庭教師のみの会社もあればプロ家庭教師しか派遣しない会社もあり、さらにはその両方を派遣する場合もあったりと様々です。結局どこを選べばいいの?と思うかと思いますが、ここで重視すべき点はやはり「生徒様との相性」でしょう。

 その点、友の会は安心です。友の会は体験授業(初回無料)によって教師との相性をチェックでき、もし合わないと思った場合はいくらでもチェンジできます。教師は全員学生なので生徒様と歳が近く、相性がいいことが多いですし、何より友の会には多くの教師が在籍していますから、生徒様に合う先生が選べる可能性はとても高いです。

 一方、同業他社はどうでしょう?プロ家庭教師は経験豊富ですが、歳は生徒様から離れており、委縮してしまうかもしれません。教師の在籍数が少ないところではそもそも生徒様に合う教師が見つからない可能性すらあります。そして、本来生徒様と教師の相性をチェックして頂く最もよい機会である体験授業にそれ専用の人材を派遣してくる業者まであるという状況です。この点には十分注意する必要があります。

②料金制度の違い

 次に料金に関してです。友の会の授業は難関大所属の家庭教師による質の高いものでありながら、その料金は家庭教師の市場においてはかなり安価な部類に入ります。なぜなら、友の会では広告宣伝費などの諸費を極力安く抑えているからです。さらに、ご家庭様から頂く料金の大部分が教師の給与となるシステムも確立していますので、給料が安いことが原因で教師が積極的な指導をしてくれない、といったこともございません。

 それでは同業他社はどうかというと、まず適正な価格で指導をしてくれないところがあります。また、友の会は先ほども見て頂いたように料金体系をあらかじめ明示していますが、一度問い合わせるまで料金を明示してくれない業者もあります。料金関係でもっと問題なのが高額な教材販売を目的とする悪徳業者です。友の会ではそうした販売は一切行わず生徒様が既にお持ちのテキストなどで指導しますが、このような業者の存在が家庭教師の利用検討自体を難しくしているのです。

 以上の点から、東大家庭教師友の会は他社と比較してもなお信頼できる家庭教師サービスであることがご理解いただけたかと思います。

東京大学受験におすすめの家庭教師

 以下に紹介する家庭教師はすべて現役東大生であり、合格経験をもとにした質の高い指導をすることができることを当会が認めた優秀教師です。もっと多くの家庭教師の情報を見たい方はこちらからどうぞ。

熊木
教師の熊木です。
筑波大学附属駒場高等学校出身で、現在は東京大学に通っています。
問い合わせ番号 570572
指導可能地域 東京都
受験経験 中学受験経験あり
指導経験 家庭教師経験あり
指導可能期間 2022年3月まで
指導可能科目 [小]国語,理科,算数,英語
[中]国語,数学,理科
[高]化学,文系数学,物理,理系数学

指導への意気込み

学ぶ楽しさを全力で伝えつつ、最高効率で点数を伸ばす指導をしていきます!

>>この教師に指導を依頼する
(リンク先のページで、お気に入り教師に登録してお問い合わせください。)


 

曽原
教師の曽原です。
筑波大学附属高等学校出身で、現在は東京大学に通っています。
問い合わせ番号 916680
指導可能地域 江戸川区
受験経験 塾講師経験あり
指導経験 家庭教師経験あり
指導可能期間 2024年3月まで
指導可能科目 [小]理科,算数,英語
[中]数学,理科,英語
[高]化学,文系数学,物理,理系数学,英語

指導への意気込み

一人一人に寄り添って全力で指導させていただきたいと思います。

>>この教師に指導を依頼する
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天野
教師の天野です。
旭丘高等学校出身で、現在は東京大学に通っています。
問い合わせ番号 772482
指導可能地域 葛飾区
受験経験 高校受験経験あり
指導経験 塾講師経験あり
指導可能期間 2025年3月まで
指導可能科目 [小]国語,算数,英語
[中]国語,数学,理科,英語
[高]化学,文系数学,物理,理系数学,英語

指導への意気込み

生徒様の「わかった」の言葉と笑顔のために、自分の能力と経験をフル活用して誠実に取り組みます。

>>この教師に指導を依頼する
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東京大学合格のための指導コース

 東京大学合格に向けた指導コースは以下の3種類がございます。より質の高い指導を希望される場合は、一番下の「プレミアム大学受験コース」のご利用をおすすめします。

大学受験準備コース

料金

(税込)

高1~高2…4,400円/時間

※高3進級後(4月以降)も指導が行われる場合、コース料金は+550円が適用されます。

コース内容 大学受験を目指す高校1,2年生向けのコースです。大学受験を経験した教師が自身の経験を元に、計画的に指導を行います。
大学受験コース

料金

(税込)

高3,浪人生…4,950円/時間
コース内容 大学受験対策をご希望の方向けのコースです。大学受験を経験した教師だからこそ、受験のテクニックはもちろん、入試直前のメンタルケアまで行うことができます。
プレミアム大学受験コース

料金

(税込)

高1~高2…5,500円/時間
高3,浪人生…6,050円/時間

※高2以前に指導を開始し、高3に進級後(4月以降)も指導が行われる場合、1時間あたりの料金は上記高3料金が適用されます。

コース内容 上記いずれかの条件に加え、当会で定めた条件をクリアした、指導経験が豊富な家庭教師をご希望の方向けのコースです。

お問い合わせはこちら

 東京大学のいわゆる円周率問題についての解説はいかがでしたか?友の会の家庭教師の指導に興味を持った方はまずは一度お問い合わせください。

 以下は電話、およびWEB上でのお問い合わせのリンクになります。対面での指導を希望される方は派遣可能エリアをご確認の上、こちらからお申し込みください。

  • 電話
  • WEb

 派遣可能エリア外にお住まいの方でも授業をお受けいただけるよう、オンライン指導もご用意しております。

 「家庭教師は欲しい、でもコロナが怖い!」という方にもおすすめのオンライン指導をご希望の方は下記のリンク先をご覧ください。

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