一橋大学入試数学良問解説①　～答えはすぐに分かるけれど～

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一橋大学の数学の良問その１　～引っ掛けポイントを見抜くには？～

一橋大入試数学の良問　その1

　画像の問題は1999年の一橋大学で出題された、入試業界でも有名な問題です。この記事では「この問題はどのように解けばいいのか」「どこに引っ掛けがあり、それを見抜くにはどうすればよいのか」を深掘りしていきます。

　まずは画像の問題にじっくり当たって解いてみましょう。解けたら以下の解説を読んで合っているか確かめましょう。もちろん、まったく解法が見当がつかない、15分ぐらい考えてみたけどわからない場合でも下の解説に進んでかまいません。

※今回の問題はかなり難しいです。図形問題が苦手な方はご注意ください。

今回の問題を解くために
必要な考え方

　まずは問題文が求めている状況はどういうものなのかみていきましょう。今回のような図形問題は問題文が指すものを具体的に書いていくとわかりやすいです。

　まずは上の図を見てください。「x軸と放物線y=a(1-x^2)に挟まれた範囲にあり、なおかつx軸に接している円」を描くとこのようになります。図ではaが1よりも小さいのですが、aについては後で0より大きい範囲で様々に動かして考えます。

　ここで注意することは円を「aを固定した状態で」最大にするということです。なぜここでaを固定するのでしょうか？それはaが動くことは放物線が動くことと同義であり、放物線に束縛された円の大きさを考えている最中に放物線に動かれては困るからです。

　したがって、a<1のまま円の大きさを最大にしました。その結果が上の図になります。このときa=2r(rは円半径)となり、(0,a)の1点のみで円と放物線が接します。

　a>1の場合は上のように2点で接します。このように、円の大きさが問題文に示された条件下で最大になるときは、円は放物線に1点または2点で接します。

　さて、放物線が円に接するということは、円と放物線の交点を(s,t)として、$$s^2+(t-r)^2=r^2 かつ t=a(1-s^2)$$という関係が成り立ちます。sとtのどちらか一方を消せば、未知の変数が減って解答を書きやすくなります。

　ただしそれだけでは解答を書くには足りません。上の2式のみでは、例えば以下の図のように、「円と放物線が3点または4点で交わる場合」であっても適用できてしまうためです。

　この場合でも上の2式は適用できてしまいます。そのため、上手く1点か2点だけ接している状態に絞れるように工夫する必要があります。

　この先の方針は主に2つに分かれます。「上記2つの式からsを削除してtについての2次方程式を作り、その重解を利用する」か、「放物線と円の中心の最短距離を求め、これをrとする」かの二択であり、これは考え方の違いです。今回はこの2つの場合の解答を作成します。

重解を利用した解答

　重解を利用する解答のポイントは「y座標に注目する」ことです。先ほど見ていただいた画像のうち、2点で接しているものに注目します。すると、2点のy座標が同じであることがわかります。

　ここで接点のy座標tについての2次方程式をここまでに書いた式から立ててみましょう。$$t^2-(2r+\frac{1}{a})t+1=0$$　この式が出てくるならOKです。これをtについて解くと、$$t=\frac{2ar+1\pm\sqrt{(2ar+1)^2-4a^2}}{2a}$$　となります。しかしこれだけでは何も分かりません。ここで「1点が2点で接するときのy座標は共通である」ことに注目します。これはすなわちこの方程式を満たすtがただ1つであることを示します。

　ここからは判別式をDとしてD=0の式をrについて解きます。あとはaの値によって場合分けすれば終了です。ここからは実際の解答となります。

　この解答を書くときの引っ掛けポイントは「D=0で必ずしも円と放物線は接しない」ということです。どうして？と思われた方は以下の画像を見ればわかると思います。

　画像ではたしかに円と放物線の交点のy座標はtで共通しています。しかし、「接して」はいません。したがってこのような場合を排除して考える必要があり、a≦1がこれに該当します。図を書くとわかりやすいでしょう。

　これを見抜くためには「必要十分条件を常に考えながら解き進める」ことを意識しましょう。「円と放物線が接するには高々2つのy座標が等しければよい」ということは正しいです。しかし、いま見たように逆は正しくないため、この点に気を付けながら冷静沈着に解答を作成する必要があります。

円の中心と放物線の
最短距離を求める解法

　今回の問題を見て「円の中心と放物線の最短距離がrになればよいのでは」と気付いた方は多いと思います。実際、過去の大学入試では似たような問題をこの解法で解くように指示したケースがあるそうです。ただし、少々落とし穴があります。

　最初に言います。点と直線の距離の式は使用しないでください。筆者もはじめは点と直線の距離の公式を使って解こうとしました。しかし、あまりに式が複雑になってしまい、諦めたという経緯があります。

　どうすればよいのかをここから解説します。まずは放物線上の任意の点をPとおき、さらに円の中心と点Pの間の距離をdとおいてください。そして、Pの座標を(s,t)とし、-1<s<1であるとしましょう。すると、tには自動的にt>0の条件がついて、$$d^2=s^2+(t-r)^2$$とすることができます。dの二乗が最小値をとるときに、d=rとしてrを求めればよいのです。

　式変形などの方法は先ほどの解法に同じです。では解答を書きます。

　一部の不等号にイコールが付きましたがa=1のときはどちらに代入しても1/2なのでこれでもOKです。こちらはただの二次関数の最大最小の問題になるので、高校1年生でも解けます。当時は苦労したような内容でも入試の段階では朝飯前で解けなければなりません。

本番で引っ掛けを
見抜けるようになるために

　今回見ていただいた引っ掛けを見抜くコツのひとつに「必要十分条件に気をつける」というものがありました。これは数学の問題を解く上での基本中の基本です。

　式を変形したり、考える変数を変えたりするときには毎回「AからBがいえていたとしても、BからAは果たしていえるのか？」というふうに小休止する必要があります。

　また、本文中ではあまり強調しませんでしたが、今回のような図形問題は「図を描いて考える」ことが基本になります。頭の中だけで考えると分かりにくいことも、図を描いていくことで的確にイメージできるようになります。とにかく描くことです。

　このような工夫をすれば引っ掛けに対処できるようになります。そして、どのような問題にもこのような工夫ができれば、ほとんどのミスは防げます。

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