体験授業無料受付

一橋大学の数学の良問その2 ~困難は分割せよ~

一橋大学の数学の良問その2 ~困難は分割せよ~

一橋大入試数学の良問 その2

 画像の問題は1985年の一橋大学で出題された、入試業界でも有名な問題です。この記事では「この問題はどのように解けばいいのか」「どうすれば複雑な問題を簡単に解けるのか」を深掘りしていきます。

 まずは画像の問題にじっくり当たって解いてみましょう。解けたら以下の解説を読んで合っているか確かめましょう。もちろん、まったく解法が見当がつかない、15分ぐらい考えてみたけどわからない場合でも下の解説に進んでかまいません。

目次

今回の問題を解くために
必要な考え方

 まず(1)ですが、こちらは問題ないでしょう。n=1,2,3,4…と具体的な値で検証して法則性を見つけ出し、そこからの推測で全て書けるはずです。

 たとえばn=1、n=2までではそれぞれ総和が1、3となり奇数ですが、n=3、n=4まででは6、10と偶数になります。同様にn=5、n=6まではそれぞれ15と21、n=7とn=8までではそれぞれ28と36となります。

 つまり、自然数kを用いてn=4kまたは4k-1と表されるときは1からnまでの総和が偶数になるということがわかります。あとはこれを帰納法で証明して書くだけです。

一橋大 数学 1985年 解答1-1

 (1)に関してはあまり問題ないだろうと思います。それでは本丸の(2)の攻略に取り掛かりましょう……と、その前に。

 「困難は分割せよ」ということわざは知っていますか?古代、ローマ帝国を築き上げたローマ人たちが遺したことわざで、ありとあらゆる分野に通じる方法論として今なお広く知られています。今回はこれを基本方針として攻めてみます。

 まずは(1)を利用して、(2)の主張が小さいnに対しても成り立つことを確かめてみましょう。まず、n=3については{1,2}と{3}の2グループに分けるとそれぞれの総和が3で、主張は成り立ちます。n=4についても、{1,4}と{2,3}に分けると成立します。

 次にn=7、n=8について試しますが、これは複数通りあります。まずはとりあえず全て書き出してみます。n=7のときは{1,3,4,6}と{2,5,7}、{1,2,4,7}と{3,5,6}、{1,2,5,6}と{3,4,7}の3通り、n=8のときは{1,2,3,4,8}と{5,6,7}、{1,2,3,5,7}と{4,6,8}、{1,2,4,5,6}と{3,7,8}、{1,3,6,8}と{2,4,5,7}、{1,4,6,7}と{2,3,5,8}、{1,4,5,8}と{2,3,6,7}……かなり多いです。

 それではここから使えそうなものを抜き出しましょう。n=8の方は大変なので3択しかないn=7の方で調べます。ここで(1)の結果をもう1回利用して、同じn=4k-1の繋がりがあるn=3の場合と見比べます。

 ここでなぜn=3を引き合いに出すのかというと、それは「帰納法を使いたい」からです。この手の整数問題はnを見たら帰納法を使って解く可能性があることを頭に入れて挑む必要があります。そして、ここが困難の分割のしどころです。

 何も突飛な分け方ではありません。n=4k-1とn=4kの場合を別々に考える、ただの場合分けです。基本的な工夫が本番で出来るかどうか、それが合否を分けることになります。では、以上のことを念頭に入れて検証に戻ります。

 n=3とn=7の場合を比べると、n=3で分けた{1,2}と{3}のそれぞれのグループに4,5,6,7のいずれか一方を加えていって作ることができるn=7のグループの組として、{1,2,4,7}と{3,5,6}、{1,2,5,6}と{3,4,7}のふたつが該当します。

 これを一般のkに対して拡張してみます。n=4k-1のときに作ったそれぞれのグループに4k,4k+1,4k+2,4k+3のいずれか一方を振り分けていくと、n=4k+3の場合でも総和が等しくなるグループの組が作れる、ということに気が付きます。

 これが今回の帰納法の使い方です。n=4kの場合も同様の方法で考えることができますが、2つの場合を同時に考えると混乱するため場合分けが必要なのです。それでは解答を書きます。

解答

一橋大 数学 1985年 解答2-1
一橋大 数学 1985年 解答2-2

 ここからは解答上の注意点をいくつか書きます。他の問題の解説にも書いたことですが、数学的帰納法を用いて解答を書く場合は必ず「数学的帰納法で示す」「n=1」「n=kで成り立つと仮定」の3つの言葉を書いてください。

 大学の先生は多忙を極めています。日々研究や教育活動に忙しく、採点に十分な時間を割けない場合が多いでしょう。そのため、ひとつの答案を見るための時間が1分程度しかない、という場合もよくあります。

 このために大学の先生は解答上重要なポイントを予め洗い出し、それが解答に含まれるかを見ることで効率よく採点をしています。逆に言えば、そのポイントを含まない答案はバッサリと減点されてしまう、ということです。

 ではそういう言葉を解答に入れるだけでよいのか、といえばそうでもありません。採点官にかなりの持ち時間を与える大学もあります。論理的に穴のある答案を出してしまうと、この場合も大幅減点です。

 帰納法でやりがちな論理的なミスが「n=kの仮定を使用できていない」というパターンです。今回の問題の場合、Lを総和M+8m+3(またはM+8m+5)の2つの組に分けた段階で、「これによりk=mの場合でも2つの組に分けられる」と早々に結論付ける、といったミスをすると点が消えます。

 一見合っていそうですが、その段階では2つの組に振り分ける数の選び方を指定していないため、本当に成り立っているかどうかが分からないのです。早とちりせずに慎重な解答の作成を心掛けましょう。

複雑な問題を本番で
簡単に解くためには?

 今回の問題は「困難を分割する」方針で解き進めていただきました。焦ってまとめて考えようとせずに、場合分けして1つ1つの場合を慎重に解き進めていくことは数学においては重要なテクニックです。

 入試本番に登場する問題は複数の場合を考えなければならない複雑なものであることが非常に多いです。例として、一橋大学の数学の良問その1 ~引っ掛けポイントを見抜くには?~で紹介した問題を考えてみます。

 こちらの問題はそもそも最終的な答えがaの値によって異なります。そのため記事内で解説している通り、aの条件に無頓着なまま解いていくと痛い目に遭います。

 解答例2に示す方法は2次関数の最大・最小の問題に落ち着くのですが、これが高校で最初に習った場合分けの問題かと思います。考える範囲によって最大・最小の値を取るポイントが変わっていくため、苦労した人が多い問題です。

 しかしこういう問題は全部の場合にあてはまる答えがないからこそ、一つ一つ場合を分けていく作戦が非常に有効になるわけです。今回取り上げた問題は全部の場合に対しての証明を求めていますが、証明の途中で対象を分割することには何も問題がありません。

 「まとめて考えると面倒くさそうだな」と思ったら躊躇なく場合分けをしていきましょう。時間のない入試本番でそんなことしたら間に合わないのではと思われるかもしれませんが、むしろ場合分けをした方がスラスラと筆を進められるため、結局早く仕上げられます。

 これを本番で遂行するには練習の段階で多くの問題を解いていく必要があります。かなり時間を要する作業ではありますが、あなたを確実に合格に導くのは本番以前のひたむきな努力です。

 ところが、そのための勉強は辛いものです。しかし、東大家庭教師友の会所属の学生家庭教師の力を借りれば、苦しくても一人ではありません。

 友の会所属の家庭教師の強みは全員が難関大在籍の現役学生家庭教師であることです。彼らは実際に難関大の数学の問題を攻略するためのノウハウを持っているだけでなく、大学受験を経験して日が浅いことから、親身になってあなたのサポートをすることができます

 また、全員が通過率20%以下の厳しい審査を通っています。そのため、生徒様のサポートを卒なくこなせる学力だけでなく、立派な人格まで備えた家庭教師をご紹介することが出来ます。大学入試の数学を攻略したい、第一志望校に合格したいあなたの背中を、私達友の会は全力で押します!

大学入試の数学対策は
友の会の家庭教師で決まり!

友の会の3つのメリット

 特に数学を頑張りたいあなたへ向けて我々友の会が提供できるメリットは大きく分けて以下の3つになります。まずは一度、お読みください。

①数学が大得意な先生が教えてくれる!

目的に合った教師
目的に合った教師

 友の会には京大、東大、大阪大をはじめ40,000人以上の難関大生が在籍しています。それだけ多くの家庭教師がいますから、数学を大得意とし、その数学力で入試を勝ち上がった先生も多く紹介できます。

 それだけではありません。友の会の家庭教師は全員採用率20%以下の厳しい審査を通過しています。そして、教師に希望する条件で細かく絞り込みができます。もし相性が悪いと感じられた際には教師を交代させていただくことも可能です。

②モチベーションを徹底管理!

学習サポート詳細

 東大家庭教師友の会の教師は、生徒様の学習が成果につなげられるように、授業以外にも充実した学習サポートを行なっております。

 日頃の計算練習や苦手克服のための問題演習など、数学の勉強はとにかく時間のかかる地味な作業も多いです。そのような場面でもモチベーションを失ってしまわないよう、友の会の家庭教師が徹底的にサポート。お悩みにも親身になってお応えできます。

③かかる料金は5つだけ!

東大家庭教師友の会では、ご入会時に入会金が発生します。月々のお支払いは、コースに応じた授業料、交通費、学習サポート費の合算になります。

授業を受けた時間数に応じてご請求額は変わり、指導回数や時間を臨機応変に変更することが可能です。

 

他社の家庭教師とはどう違う?

 次に、東大家庭教師友の会と他社の違いを紹介します。東大家庭教師友の会の家庭教師は他社の家庭教師と比べて、「生徒様にぴったりの家庭教師を派遣できる」こと、「質の高い授業をリーズナブルに受けられる」ことが大きなメリットです。具体的に見てみましょう。

①生徒様にぴったりの家庭教師!

 家庭教師は生徒様との相性がすべてです。どれだけ指導能力の高い家庭教師であっても、生徒様との相性がよくなければ、その能力を十分に活かすことはできません。その点、友の会は安心です。東大家庭教師友の会は体験授業(初回無料)によって教師との相性をチェックでき、もし合わないと思った場合はいくらでもチェンジできます

 教師の条件は出身校や在籍大学など、細かい条件で事前に指定することができます。いつ指導して頂くかもご家庭様でご自由に決めて頂けます。また、東大家庭教師友の会は原則すべての案件に立候補制を採用しているので、どの先生も熱意に溢れています。

 さらに、東大家庭教師友の会の最大の特徴は「全員学生家庭教師であること」です。これは、生徒様と相性のよい家庭教師が見つかりやすいことを示しています。生徒様と歳が近く、価値観や趣味を共有できる可能性がプロの家庭教師よりも高いのです。

 同業他社の場合ですと、例えばプロ家庭教師は経験豊富ですが、歳は生徒様から離れており、委縮してしまうかもしれません。教師の在籍数が少ないところではそもそも生徒様に合う教師が見つからない可能性すらあります。そして、本来生徒様と教師の相性をチェックして頂く最もよい機会である体験授業にそれ専用の人材を派遣してくる業者もあるようです。この点には十分注意する必要があります。

②明瞭な料金制度・高いコスパ

 友の会の授業は難関大所属の家庭教師による質の高いものでありながら、コスパよくご利用いただけます。なぜなら、友の会では広告宣伝費などの諸費を極力安く抑えているからです。さらに、ご家庭様から頂く料金の大部分が教師の給与となるシステムも確立していますので、給料が安いことが原因で教師が積極的な指導をしてくれない、といったこともございません。

 また、東大家庭教師友の会では後払い制度を採用しています。さらに、月謝制ではなく、その月の指導日数および指導時間により料金を計算させて頂いています。これにより、毎月指導を受けた分だけ、確定後にお支払いして頂けるような仕組みを整えております。

 東大家庭教師友の会は先ほども見て頂いたように料金体系をあらかじめ明示していますが、一度問い合わせるまで料金を明示してくれない業者もあります。同業他社との詳細な料金比較は【30社】家庭教師料金を徹底比較!をご参照ください。

 以上の点から、東大家庭教師友の会は他社と比較してもなお信頼できる家庭教師サービスであることがご理解いただけたかと思います。

大学入試の数学対策におすすめの家庭教師

 以下に紹介する家庭教師はすべて現役の大学生であり、合格経験をもとにした質の高い指導をすることができることを当会が認めた優秀教師です。もっと多くの家庭教師の情報を見たい方は教師情報検索からどうぞ。

秋廣先生
秋廣先生
教師指名可能
   
お気に入り登録
 
お問い合わせ番号 770267              
秋廣先生
秋廣先生
教師指名可能
   
お気に入り登録
 
お問い合わせ番号 770267              
所属大学   東京大学
出身高校   ラ・サール高等学校
指導期間   2023年3月まで
指導科目   [小]国語,理科,社会,算数,英語

[中]国語,数学,理科,社会,英語

[高]世界史,古文,文系数学,日本史,漢文,現代文,英語

意気込み   個別指導塾での指導経験を生かし、生徒様に寄り添った指導を行って生徒様にもご家庭にも満足していただけるように頑張ります。
井口先生
井口先生
教師指名可能
   
お気に入り登録
 
お問い合わせ番号 755834              
井口先生
井口先生
教師指名可能
   
お気に入り登録
 
お問い合わせ番号 755834              
所属大学   慶應義塾大学
出身高校   ラ・サール高等学校
指導期間   2023年3月まで
指導科目   [小]国語,理科,社会,算数,英語

[中]国語,数学,理科,社会,英語

[高]世界史,古文,地理,文系数学,漢文,現代文,英語

意気込み   勉強を少しでも楽に、楽しくできるように、勉強の内容だけではなく、勉強との向き合い方も根気強く指導していきたいと思います。保護者様のご希望に添えるよう、生徒様の成績向上を目指し、真摯に指導していく所存です。
尾上先生
尾上先生
教師指名可能
   
お気に入り登録
 
お問い合わせ番号 760312              
尾上先生
尾上先生
教師指名可能
   
お気に入り登録
 
お問い合わせ番号 760312              
所属大学   東京大学
出身高校   淳心学院高等学校
指導期間   2023年3月まで
指導科目   [小]国語,社会,算数,英語

[中]国語,数学,社会

[高]世界史,古文,文系数学,日本史,漢文,英語

意気込み   過去の自分の経験を最大限に活かし、生徒様に、勉強って楽しい、と思ってもらえるような指導を目指して頑張ります。

 

料金

東大家庭教師友の会では、ご入会時に入会金が発生します。月々のお支払いは、コースに応じた授業料、交通費、学習サポート費の合算になります。

授業を受けた時間数に応じてご請求額は変わり、指導回数や時間を臨機応変に変更することが可能です。

お問い合わせはこちら

 以上の一橋大入試の数学の良問解説はいかがでしたか?友の会の家庭教師の指導に興味を持った方はまずは一度お問い合わせください。

 以下は電話、およびWEB上でのお問い合わせのリンクになります。対面での指導を希望される方は派遣可能エリアをご確認の上、こちらからお申し込みください。

  • 電話
  • WEb

 派遣可能エリア外にお住まいの方でも授業をお受けいただけるよう、オンライン指導もご用意しております。

 「家庭教師は欲しい、でもコロナが怖い!」という方にもおすすめのオンライン指導をご希望の方は下記のリンク先をご覧ください。

オンライン東大家庭教師友の会” width=

他の入試数学の問題について見る

東京大学

円周率は3.05より大きい(2003年) ~ゆとり教育への挑戦状?~

加法定理の証明(1999年) ~公式は証明してから使おう~

初代・閻魔の唇問題(1954年) ~閻魔が笑えば赤門は開く~

京都大学

剰余と数値計算(1999年) ~自分の得点を自分で決められる?~

格子点の極限(2004年) ~極限と微積にはこの一問!~

tan1°は有理数か?(2006年) ~史上”最短”の入試問題~

東京工業大学

数列を割り切る素数(1986年) ~答えはすぐに分かるけれど~

三次方程式の解(1972年) ~複素数平面、基本のキ~

同様に確からしくない確率の問題(2008年) ~いびつなサイコロ~

一橋大学

円と放物線(1981年) ~引っ掛けポイントを見抜くには?~

整数の総和(1985年) ~困難は分割せよ~

大阪大学

体積を積分で求める(1999年) ~立体問題のセオリー~

公式の証明(2013年) ~公式は証明してから使おう・阪大編~

神戸大学

対数の応用問題(1998年) ~盲点の桁数、その攻略法~

三角形の面積(1977年) ~解けなかったら落ちる?~

new_pc_btn_experience_common

  • 教師検索
  • お気に入り教師を見る
  • 小学生向けページ
  • 中学生向けページ
  • 高校生向けページ
  • はじめての方へ

  • 特集